回答の流れとして、紫のマーカーの行の上の式（これを①とする）から、紫の右側の式（これを②とする）を導いています。
これを導く前提条件が、「ベクトルa,b,cが一次独立であること」で、それを「OABCが同一平面上にない」という説明で表しています。
では「一次独立」とは何か？
というと、いくつかのベクトルが与えらられたとき、それぞれのベクトルは、他のベクトルの和では表せない、という意味です。
ここではベクトルa,b,cに対して a = sb + tc を満たすs,t という係数は存在しない、ということです。
（もし存在する場合は、一次従属といいます）
図で考えれば、当たり前の話で、sb + tc は、ベクトルb,c で作られる平面なので、その上にベクトルaはないですよね。
（つまりベクトルa,b,cは、お互いに独立している、なので一次独立といいます）
一次独立が成り立つとき、ベクトルa,b,c に対して、Xa+Yb+Zc=0 ならば、X=Y=Z=0 となります。
①から、②を導く手法がこれです。
（もし、a,b,cが一次独立でないなら、上の X,Y,Z がすべて0でない場合でも、成り立つときがあるため、問題の解答のようにできない）
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なんだか、あまりすっきり説明できていない、読んでみて意味不明な点があれば追加質問ください。
