Question

大学1年生

写真2枚目が解答です。
解答の右側6行目「⑴で導いた等式」というのは、⑴の解答の1行目から2行目の等式のことを言っているのでしょうか？
+から-に変えても成り立つのは何故ですか？
教えてください🙇🏼‍♀️

7632* nを自然数とする。(2+/3)"
AS
= an+ bny3 を満たす整数 an, bnについて,
次の問に答えよ。(V3 が無理数であることを用いてよい。)
こと
(1) an+1, bn+1 を an, bn を用いて表せ。
n
(2) (2-/3)"= an-buv3 が成り立つことを証明せよ。

の左辺につい
であると仮定する。② を用いて
1
1
/2
1
VR
1(2-13)*
V3
1
k+
k+
= (2-(3)(2-3)
3
Vk+1
とを十すの大小を比
次に,A+
= (2a,+36)- (a,+2b)/3
ケ 静 (1) で導いた等式より
「vekE自然数とするとき、~」
べる。
(2-(3)"= a1ーbad3
Se S 01よって, n=k+1のときも①は成
k+1
ここで、(k2)であるから
+リ ()
「k+1
VR+1-1
>0
VR+1
り立つ。
(1), [2] より,すべての自然数nについ
て0が成り立つ。
633 a+b= b, ab = q とおく。
=1-
R+1
11
くk+1
k+
「a"+ 6" は整数である」という命題を0
とする。
(1) n=1 のときは d'+b = pは整数,
すなわち
『R+1
3, 0より
1
1
1
1+
V2
VR+1
I+Yラ
1+ n=2 のときは
3
となり,n=k+1 のときも①は成り
+ = (a+b)? - 2ab = fー2q
La-b, qは整数であるから が一2qは整数
I+(である。
立つ。
(1), (2)より,すべての自然数nについて
0は成り立つ。
2 (0a+1 + bm+1/ 3
=2+/3)*
よって, n=1, 2 のとき①が成り立つ。
[2] n= k, k+1のとき①が成り立つ,
(1-すなわち
mm
9)
a* + b = M, ak+1 + 6*+1 = N
n+1
の
+1= S(FD-T
(M, N は整数)
= (2+/3)(an+ bm/3)
= (2a, + 36,)+ (an+26,)/3
C, ba は有理数であるから,2am+36n,
0n+26,は有理数である。
(an
0魚のと表されると仮定すると
ak+2 + 6¢+2
ア (a**1 +6*+!)(a+6)-ab(a* +6*)
= DN - qM 0知
p, q, M, N は整数であるから pN-qM
は整数である。よって, n=k+2のと
Oasis bnti も有理数であり,また, /3
は無理数であるから
an+1 = 2a,+36n, bn+1 = an+26n
示すべき等式をのとおき,これを数
学的帰納法で証明する。
0 n=1のとき
おのまきも①は成り立つ。 D
2 [1), [2] より, すべての自然数nに対して
す ①が成り立つ。 =
4(a」 + a2+…+an) = (2n+1)an +1
634
2+3 = a+b/3で, a1, ba は有
理数、3は無理数であるから
a= 2, b, =1
よって,2-3 = aーb/3 となり,
=1のとき0は成り立つ。
1=kのとき0が成り立つ,すな
とする。
①にn=1 を代入して
4a, = 3a, +1
a =1
これを解いて
のにn=2 を代入すると
4(4, + ae) =D 5az +1
4(1+ a) = 5a, +1
わち
e-5) = a-b/3
Q2 = 3
これを解いて
2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

疑問に合致するかわかりませんが。

大学1年生

なるほど！とても分かりやすいです！
そうですね、⑵は+を-にしても成り立つことを証明するための問題ですよね💦目的を忘れていました…
ありがとうございました！！