50 反復試行の確率 P, の最大
307
|10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰
り返しくじを引くものとする。ただし,一度引いたくじは毎回もとに戻す。
要例題
n23 とし,n回目で終わる確率を Pnとするとき
(2) Pnが最大となるnを求めよ。
45
【類名古屋市大)
) Pを求めよ。
基本 45,47
HARTOSOLUTION
Pn+1
確率の大小比較 比
12) Pが最大となるnの値を求めるには, P++1 と Pnの大小を比較すればよい。
確率の問題では, Pnが負の値をとらないことと,Paがnの累乗を含む式で表
をとり,1との大小を比べる
Pn
2章
5
Pn+1
されることから,比
をとり, 1との大小を比べる とよい。
P。
解答
n回目で終わるのは,(n-1)回目までに2回当たりくじ |(2) Pat
を引き,n回目に3回目の当たりくじを引く場合であるから
京A (5)
{(n+1)-1}{((n+1)-2}
2
8)2-3
2
ーュー1Ca
n-
10)
10/ 10
(n-1)(n-2) / 4 \7-3/
(n23) .3
事難Do5/ 点、 にn+1とおいたもの。
Pnのnの代わり
ニ
2
ふあ
Pn+1
n(n-1)/4\2-2/
Pa
大里
n-3
2
4n
三
5(n-2)
をぞ
e
4n
5(n-2)
すなわち 4n>5(n-2)
Patl>1 とすると
P
-5(n-2)>0 であるから,
不等号の向きは変わら
これを解くと
n<10
ない。
Pa+1-
P.
大薬立共)
Pn+i<1 とすると n>10
Pn
ニ1 とするとn=10
Paの大きさを棒の高さ
よって,3Sn<9 のとき
のとき
のとき
Pn< Pn+1,
P= Pn+1
P> Pn+1
で表すと
から、 る
作為に
最大
yれ=10
11Sn
増加
減少
ゆえに Ps< P<…………<Ps<P.o=P:, Pio= Pu>P2>…
35期00
34
したがって, Paが最大となるnの値は
n=10, 11
ご 合 4ーを
>こ参きう8 ,A
n
大にする自然散nを
1011 12
合加
独立な試行·反復試行の確率
