Question

りんな

問題:放物線y=x^2と点（2,6）を通る直線とで囲まれる部分の面積を最小にするような直線の方程式を求めよ。

赤い線が引いてあるところがどういう計算でこのようになったのか分かりません😥
どなたか教えてください🙇‍♀️💦

101 面積の最大· 最小
解法のポイント
2次関数の最大·最小や微分法の利用を考える。
直線x=2は条件を満たさ
ないから,点(2, 6)を通
る直線の方程式を
y
S 6
ソミx?
y=m(x-2)+6
とおく。
放物線 y=x? と直線① の
交点のx座標をa, β(α<3)
とすると, a, βはx?=m(x-2)+6 すなわち
x-mx+2m-6=0の2つの実数解である。
よって,解と係数の関係から
α+8=m, aβ=2m-6
放物線 y=x? と直線① で囲まれる面積Sは
O
2β
x
α
1
の
S=(m(x-2) +6-x}dx
(1
=-(xーa)(xーB)dx
(8-a)
D
ここで,②を利用すると
00!
1
S=m?-4(2m-6)*=ー(m-4?+8]
1
よって, Sはm=4のとき最小になる。
ゆえに,求める直線の方程式は
すなわち y=4x-2
(2
y=4(x-2)+6

微分法 面積

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

1/6(β-α)³
になるのは、いわゆる1/6公式というもので、放物線と直線や放物線とx軸との面積を求めるときによく使う有名な公式です。
ご存じなければ、ググってみてください。

次の式変形ですが、
(β-α)²＝(α+β)²-4αβ
と変形できますので、
(β-α)³＝｛(β-α)²｝3/2乗
＝｛(α+β)²-4αβ)3/2乗

としました。

りんな

ありがとうございます🙇‍♀️