Question

勉強くん

（2）は、なんで等号成立がx ＝9/x+2ではないのですか？わかる方教えてください。

基本例題31 相加平均·相乗平均を利用する最小値
9
の最小値を求めよ。
50
M3)。
基本例題)32
(1)x>0 のとき, x+
9
の最小値を求めよ。
0<a<b, a+b
「p.38 基本事項5, 基本 30
(2) x>0 のとき, x+
x+2
o
OLUTION
CE
CHART
積が定数である正の数の和の最小値
(相加平均)2(相乗平均) を利用
相加平均と相乗平均の大小関係 +b_ab において, ab=k(一定)の関係が
HART
式の大小!
数値代
4つの式
2
(4C2=6
成り立つとき, a+62/k から a+6の最小値を求めることができる。
ただし,等号の成立条件の確認が必要である。
(2) 積が定数になるように定数を補い, (相加平均)2(相乗平均) を利用。
1
a=
|2?
ことか
解答
したス
合相加平均と相乗平均の
大小関係を利用する場
合,2数が正であること
を明示する。
9
(1)x>0, >0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係
x
解答
9
=2·3=6
x
9
により
x+
2.
a+b=2 か
9
等号が成り立つのは x=3
すなわち x=3 のとき。
19
*x=-
0<a<b た
から x°=9
x
x
よって
よって, x=3 で最小値6をとる。
バテバチおの 知
x>0 であるから x=3
また
9
9
(2) x+
-=x+2+
x+2
さす
全2つの項の積が定数と
x+2
なるように, x+2の項
を作る。
9
x>0 より x+2>0,
x+2
平均の大小関係により
->0 であるから, 相加平均と相乗
『[1] の
de ささケ
x+2+2=
9
-22, (x+2).
9
=2·3=6
『[2] C
x+2
ゆえに
9
9
--226-2=4
x+
x+2
-=x+2+
x+2
今式の値が4になるよう
なxの値が存在するこ
とを必ず確認する。
全等号成立は
等号が成り立つのは x+2=
9
の[3]
のとき。
x+2
このとき
x+2>0 であるから
したがって, x=1 で最小値4をとる。
(x+2)=9
x+2=3
ゆえに x=1
した
9
PRACTICE…31°
x+2=
x+2
9
かつ x+2+
x+2
ゆえに 2(x+2)=6
として求めてもよい。
-%36
(1) x>0 のとき, x+
16
の最小値を求めよ。n
x

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

tra7345

機械的に覚えるのではなくて
どういうときに最小値が出ているのかを
きちんと把握しましょう。

ａ＋ｂ≧２√（ａｂ）
これを二乗して
（ａ＋ｂ）^2≧４ａｂ
ａ^2+2ab＋b^2-4ab≧０
a^2-2ab+b^2≧０
(a-b)^2≧0
よってａ＝ｂのとき

（２）の問題において
ａ＝ｘ＋２，ｂ＝９／（ｘ＋２）
です。ｂの分母の部分がａの逆数になっていないと根号が外れませんから
ａはｘではだめでしょう？
したがって等号成立も
ｘ＋２＝９／（ｘ＋２）
となる。