Question

Ryo

二項定理です！ (数II)

x=1を代入する過程？ 理由？ が分かりません。
教えてくれると嬉しいです！

写真の1枚目が問題で
2枚目がヒントのようなかんじで
3枚目が解答なのですが、

二項定理
(1+x)” の展開式を利用して, 2000<,Co+»Ci+»Ce+»Cs+………+»Cn<3000 を満たす自然数 n
の値を求めよ。

二項定理の展開式の二項係数の和
二項定理(a+b)” の展開式は
12
2,C,a"-"b"
T=0
よって,(1+x)” については
ア=0
これより,xの値を決める。
次に, 2°, 2", 212 などの値を利用す
る。

12
(1+x)"=»Co+ Cix+»Cax?+……+»Cnx"
x=1 を代入すると
2"=,Co+»Ci+» C2+……+»Cm
xX
2000<2”<3000
210=1024, 21-2048, 2'2-4096 だから
n=11

数ii 二項定理

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆりあん

(1+x)^nの展開式が2枚目の画像から

Σ nCr x^r と表せます。ここで、x=1を代入してみると
1のr乗　1は何乗しても1となるだけなので、1^r = 1

すると展開式は、Σ nCr と表せます。これが2000〜3000の中にあると言う問題です。

なぜ、xに1を代入したのかというのは端的にいうと、(1+x)^nの展開式のΣ nCr x^rのx^rが邪魔でΣ nCrだけを使いたいので、1に何をかけてもかけた数字になるという、1の性質を利用して、x^rをx=1とすることによって消せるからです。

Ryo

なるほど！！
理解出来ました！
ありがとうございます❣️