Question

とまと

左の写真が問題で、左が解説です。
[1]の場合で、なぜ、n=2の場合のみだといけないのでしょうか。教えてください！！

250 2 は2以上の自然数とする。数学的帰納法を用いて,次のことを証明せよ。
x"+ y" はx+yと xyを用いた式で表される。

250「x"+y" はx+yと xyを用いた式で表され
る」を(A)とする。
[1] n=2のとき
x*+y°=(x+y?-2.xy
n=3のとき
x°+y=(x+yー3xXx+y)
よって, n=2,3のとき(A) が成り立つ。
[2] k22 として, n=k, k+1のとき (A) が成
り立つと仮定する。
n=k+2 のときを考えると
xk+2+ y
h+2
=(x+ yXx*+1+yh+!)-xy(x*+y)
仮定より x*+1 + yh+1, x* + yh はx+yと xy
を用いた式で表されるから,x*+2+ yh+2 も
x+yとxyを用いた式で表される。
よって, n=k+2のときも(A)が成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数 nについて (A) が
成り立つ。
参考 本間で示したことにより,xとyについての
対称式x"+ y"が,基本対称式 x+y, xy で表さ
れることがわかる。
1OFT
HAMK
251 (理由) ACの係数が負であるから

Answer 1

tra7345

あるｎについての成立を述べようとするときに
ｎの前の２つ（ｎ－１，ｎ－２）の式を用いて証明する必要があるため

このように
数学的帰納法では
必ず１つを仮定するとは限りません。

今回の問題のように２つを仮定する場合や
１からｎ－１すべてを仮定する場合など
いろいろなパターンがあります。

とまと

なぜ、nの前の２つの式を用いる必要があるのですか？理解力がなくて申し訳ないです🙇‍♀️