Question

まさ

ax+by+cz+d=0は、法線ベクトルが(a,b,c,)であるような平面の方程式を表しているということを外積を使わない方法で教えてください‼️

ベクトル 平面の方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

もともと外積なんか使いませんよ？！
そもそも平面の式を導くのは内積かける0から導くので。

まさ

え、そうなんですか！調べてみたら外積使っててよくわからなかったので

哲治

普通のテキストだとほぼこの導出だと思いますけれど？

哲治

結論の式を
ベクトル(a,b,c)と(x-x0,y-yo,z-zo)の内積と見ています。右は始点(xo,y0,zo)としたときの任意の点(x,y,z)までのベクトルと見ています。
内積ゼロなんで(a,b,c)が法線ベクトルとなります。

まさ

つまり、平面上のPQベクトルとその平面に直交するnベクトルを内積とると0になり、そこから、nベクトルは平面ベクトルの法線ベクトルだといえるってことですか？

哲治

そこからではなく、平面は空間内の一点と、法線ベクトルで特定されるわけなんですよね。
だから始点Pと(a,b,c)は導くのではなく、最初から始点と法線ベクトルとして固定なんです。

哲治

その初期条件のもとQの動く範囲が平面に限定されるわけなんですよね。

まさ

それで、Qの座標を(x,y,z)とした方程式か得られるわけですね

哲治

そうです。

まさ

ありがとうございました😊