✨ 最佳解答 ✨
a→∞でarctana→π/2だからあとはよくあるcos^nの積分で二重階乗のやつでいいのではないでしょうか。
置換積分したあとでは、積分範囲は0からπ/2になりませんか？
なるほど、極限を取ったら上限がπ/2になって、それでウォリス積分が使えるんですね。積分範囲が変わるの忘れてました。
しかしこれもまた積分の前に極限を取ってるやり方のようですね。他のやり方もなさそうので、想定解だとは思うんですけど。
F(x)=∫[0→x]cos^(2n-2)x dx
とすると、
lim[a→∞]F(arctana)=F(lim[a→∞]arctana)
が問題になりますが、これはFが連続関数であれば言えます。cos^(2n-2)xが連続関数であるのでF(x)は微分可能で連続関数です。よってこれは成り立ちます。
この問題で想定されている解法はよくわかりませんね。この解法だと直接極限が求まるので極限の存在を示す意味がないですし。(一応論証はしていますが。)単にcos^nの計算法を知らない人のための部分点の救済でしょうか。∫1/(1+x^2)^n dx の原始関数の漸化式を使った議論もできそうですが、なおさら想定解ではないと思います。
そのFが連続関数である以外も、Fが収束でなければ極限を中に入れられないんじゃないんでしょうか。はっきり覚えてませんがそんな質問を見たことがあります。なのでまず収束することを証明させてるんじゃないのかなと思ったりしました。
それはその通りですが、F(π/2)は広義積分ではないので収束するのは自明なのです。変数変換で広義積分ではなくなる、というのは面白いことですね。
回答ありがとうございます。
しかし二重階乗の公式は0〜π/2のときだと思うんですが、0〜∞のときは想像してみると振盪してそうですよね。