Question

まんまる

どうしてnを無限大にしたときに0になることを証明しているんですか？

f(x)=f(0) +
f'(x+
2!
Rn(x) =
1!
r(@s+...
f(n)(0zzn (001)
n!
f" (0) x2 +... +
44
マクローリン展開
第2章 微
f(x) が0を含む開区間 I で無限回微分可能(すべ
てのnに対してn回微分可能) であるとき, 任意のæ∈I と任意のnEN
に対して
2.4 テイラーの定理
45
【解】 (1) を示す. 例18より Rm (z) =
0x
n!
-T” だから1章例題2より,
f(n-1) (0)
0x
-x-1
(n-1)!
+ Rn(x),
|Rn(x)|=
=
n!
||
xn
"ex -
n!
→0 (n→ ∞)
f(x)は
をみたす 日=日(π,n) が存在する. ここでもしRn(x)0 (n→∞)なら
->
f'(0) f" (0)
f(x)=f(0) +
-x+
22
+･･･ +
f(n) (0)
-xn
1!
2!
n!
+...
と無限級数で表される. 右辺の無限級数を f(x) のマクローリン展開ある
はマクローリン級数という(級数については6章を参照のこと)。
は証明を省略する (6章 6.4 節参照).
問21 例20の (2) (3) を示せ.
注eのマクローリン展開 (1) において,π=i0 (iは虚数単位; i = √-1) と
おくと, sin π, cosæ のマクローリン展開 (2), (3) から
eid=cos0+isin O
が得られる.これをオイラー (Euler) の関係式という.
となり結論を得る。 (2), (3) も同様に示される。 (4), (5) の証明には、 定理 12
において別の形の剰余項(コーシーの剰余など) をとる必要がある. ここで
例20
T
xn
(1) ez=1+
+
+
+
n!
(-x<x<∞)
問22|x|<1のとき次の級数展開が成り立つことを示せ。 ( 6章定理1参照)
I
2.5
2n 1
(2) sin x =
+
1
3!
・+ (−1)n-1.
5!
+...
(2n-1)!
log 1+2=2(x+++...)
3
5
(-x<x<∞)
x2n
+
....
+ (−1)".
[( 2n) !
·+(-1)n−12
+･･･
(-∞<x<∞)
x2
24
(3) cos x = 1-
2!
4!
x2
(4)log(1+z)=x_
x3
+
2
3
n
1.3...(2n-3)
2.4... (2n)
(−1<x≤1)
(5)(一般の2項定理)
| ネイピアの数とオイラー
は任意の実数とする.
+(-1)^-
「対数」という言葉はネイピアが導入した. オ
イラーは級数
(1+m) = 1 + -
a
a(a-1)²+
1 1
1
2!
1+ + +・・・+
1! 2!
ala-1)...(a− n + 1)
(Iml<1)
を考え、その和をeで表した.また,その数値を計算し,eを底とする対
問23|x|<1のとき次の級数展開が成り立つことを示せ.
1
(1)
(1+m)2
= 1-2x+3x²
-....
.+ (−1)"(n+1)x" +...
(2) V1 +æ=1+zx-
1
1
2
x²
2.4
2
1.3
+
2.4.6
2.3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

はちゅリケ

n→∞で誤差Rn(x)がほぼ0に近づくから（1）の右辺と左辺が等式として成り立つよと言いたいためではないでしょうか？
もし間違っていたらすみません(>_<)

一つ聞いてもいいですか？それはどのテキスト使っていますか？

まんまる

ありがとうございます
緑色の微分積分概論です