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Vhandi Mommy @an 数列の和 早見チャート
数列の和は、下記5つのタイプのどれかで求められる!
1. 等差数列タイプ ・・・・・・ 等差数列の形になっているもの。
公式の成り立ち 初項α. 公差4. 末項1項数とすると
S=a+(a+d)+(a +2d) + ...... +(I-d) +1
等差数列の和の公式
25. = (a+1)+(a+1)+....+(a+1)+(a+1)
+) S=1+ (1-d) + (1-2d)+
25.=n(a+1)
+(a+d) +α
初項α. 公差d.末項1.項数とすると
S.-/12(4+1)
個
逆に並べ足す
数
S.- ・初項+末項) と覚える!
2
∴. S.="2 (a+1)... ① 1=a+(n-1)dより,①に代入して
8-(20+(-1))
Ⅱ. 等比数列タイプ･･････等比数列の形になっているもの。
公式の成り立ち 初項α. 公比r.項数”とすると消える!
S= a + ar + ar' + ar' +
公比をかけて
ずらして引く!
S.={2a+(n-1)d}
等比数列の和の公式
+ar
- rs.=
ar + ar' + ar' +
+ar
(1-r)S-a
+a.r"
-a.r"
初項α. 公比r.項数とすると
公比<1 [公比>1
(1-r) S.-a-ar"
r≠1のとき S,
a(1-r) a(-1)
|公比>1,公比<1
a(-1) a(1-)
r-1
1-r
r≠1のとき S.=
1-r
r-1
で使い分ける!
r=1のとき S. = na
数列の和は、和の式をもう1本用意して、
r=1のとき S,=a+a+a+... +a= na
Ⅲ. 計算タイプ一般項を求めて。 この公式を用いて解くもの。
一般項を求めてから, Σの公式により求める。 ∑の公式が自在に使いこなせるように練習する!
公式がそのまま使える形になっていないものは、 実際に数字を書き並べ、 数列の特色をつかんで考える!
の公式
Σk=1+2+3+=12(n+1)
2乗したもの! Σath)=]
=
2
Σk=1+2+3+= (n+1)(2n+1)
・a, c ○Σa (cは定数)・
-cは無関係
6
'=1+2'+'+
=
c=c+c+c+c=ne (cは定数)
個
IV. 打ち消しタイプ･･････差の形にすることで打ち消しあうもの。
部分分数分解タイプ
有理化タイプ
分数の数列の和で、 各項を部分分数に分解(分母が小さい分数から分母が大きい
分数を引く)することで、差の形になり打ち消しあうもの。
分母に無理数がある数列の和で. 有理化することで.
1
$1(1
1
-
k(k+p) pk k+p.
差の形になり、 打ち消しあうもの。
階乗タイプ
階乗を含む数列の和で。 うまく式変形をすることで差の形になり, 打ち消しあうもの。
V. 等差×等比タイプ･･････ (等差数列) x (等比数列) の形になっているもの。
等比数列の公比をかけて、 元の式からずらして引くと等比数列の和の形が現れ、うまく計算することができる。
=d(公差) とすると
S=atas+ar'+ar'+
+9
ずらして引く!
- rs =
artar'+ar'+
artar*
(1-r)S=a+dr+dr'+ dr'+
dr等比数列の和になっている!
あとは、全体を. 1-r
(r≠1のとき) で割り
和を求めることができる!
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Q
差数列の和タイプ ①
Point! ●公差は隣り合う項の差。 末項の項数はα=ai+(n-1)dから。

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Visual Mamory Charf 等差数列の和タイプ ①
数字の列で与えられているパターン Point!
例題1
解答
次の数列の和Sを求めよ。
5, 8, 11,
●公差は隣り合う項の差。 末項の項数は 4.= (n-1)d から。
62 は, 初項 5. 公差 3, の等差数列であり
.+(n-1)dより,末頃の項数は
62-5+(n-1)3
5,8,11,
....... 62
.. n=20
よって、s=m
20
S=(5+62)=670-
等差数列の和
S.=(a+1)
数
例題2
解答
1, 4, 7, 10, は初項1. 公差 3. 項数の等差数列であるから
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
等差数列の
S.="122-1+(n-1)-3}
S.= (2a+(n-1)}
1, 4, 7, 10,
n(3n-1)
2
文章で与えられているパターンPoint! 末頃の項数はa+(n-1)d から。
1
解答
初項10. 公差 3. 項数16の
等差数列の和Sを求めよ。
初項10. 公差 -3, 項数16の等差数列の和は
16
「等差数列の和
S= {2-10-3(16-1)}←
2
(2a+(n-1)d)
休題2
初項4, 公差2, 末項102の
等差数列の和を求めよ。
=8 (20-45)=-200
初項4.公差2の等差数列において
a=a,+(n-1)dより, 末頃の項数は
102=4+(n-1)2
数列の和
..n=50
50
よって,S= (4+102)=2650+
S.=(a+1)
2
項
式で与えられているパターン Point! ●の1次式で与えられた式は等差数列になる。
例題
解答
a. -6n-9
次の式で与えられている数列の初項
から第n項までの和 S. を求めよ。
an=-6n-9
初項α=-6-9=-15, 末頃は−6"-9の等差数列であるから
n
「等差数列の和
= (a,+a, ) +
S.=(a+1)
この公式から
|求めてもよい
=(-15+ (-6n-9)}
=-3n (n+4)
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差数列の和タイプ②
自然数の和パターン Roint! 自然数の和は公差1の等差数列の和となる。

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hami Annan 等比数列の和タイプ①
数の列で与えられているパターン Point! ◆文字が入っているときは, 場合分けに注意!
例題
解答
1, a, a', a'.
......
は
次の数列の初項から第n項まで
の和を求めよ。
初項1,公比αの等比数列であるから.
a≠1のとき
等比数列の
1, a, a², a³,
1-(a-1) a-1
a(-1)
(r≠1のとき)
=
a-1
a-l
公
a=1のとき
1+1+1+1+······+1=n.1=n
文章で与えられているパターン Point! 末項の項数は, .=ar から求める。
例題1
解答
等比数列の一般項はより,
初項4.公比3.末頃972の
等比数列の和Sを求めよ。
末頃の項数は
972=4.3
243=3
3'-3
..n=6
等比数列の和
4(3-1)
S=
=14564-
o(^-1)(x+1のとき)
3-1
公
例題2
解答
初項3. 公比2. 項数10の
等比数列の和Sを求めよ。
初項3. 公比2.項数10の等比数列の和は
3 (2-1),
(^-1)
S=
等比数列の
(r1のとき)
-1
2-1
=3069
式で与えられているパターン Point!
◆指数部分が„の1次式のときは等比数列になる。
例題
解答
次の式で与えられている数列の初項
から第n項までの和 S. を求めよ。
a=2.3-1
4, 2.3 は, 初項α」=2.3°=2,
公比3の等比数列であるから
S=
2 (3-1)
3-1
等比数列の和
(^-1)
-1
=3-1
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比数列の和タイプ②
約数の和パターン Point! •約数の和は等比数列の和の公式をうまく利用する。

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Vista Memory Chad 等差数列の和タイプ②
自然数の和パターン
例題
1から”までの自然数の
和Sを求めよ。
Point! 自然数の和は公差1の等差数列の和となる。
解答
1から4までの自然数の和は, 初項1. 末項n, 項数”の等差数列
の和となるので等差数列の和
S-12(n+1)+
S=(a+)
数
倍数の和パターン Point!
nの倍数の和は初項n, 公差nの等差数列の和となる。
例題
1から100までの整数で. 5の倍数の
和Sを求めよ。
解答
1から100までの整数で, 5の倍数は.
5, 10, 15,
100 となり,
末頃100の項数は.
等差数列の一般項
100=5+(n-1)5より←
a=a+(n-1)d
4,
-20
よって、初項5, 末頃100, 項数20 の等差数列の和となるので
S=20(5+100)=10504
S=1/2(+)
初項q, 公差pの等差数列の和となる。
pで割って余る数の和パターン Point!
例題
1から100までの整数で.
解答
1から100までの整数で. 3で割って2が含まれることに注意!
2余る数は. 2, 5, 8, 11, ..., 98 となり,
3で割って2余る数の和Sを求めよ。
末頃98の数は
982+(n-1)3より
1-33
等差数列の一般
ama+(n-1)d
一般公
よって、初項2, 末頃98, 項数33の等差数列の和となるので
S-2 (2+98)=1650
S.-(2+)
数
途中の数列の和パターン
Point!
(第k項から第1項までの和)=
例題
解答
(初項から第1項までの和)- (初項から第k-1項までの和)
※第k項を初項として求めてもよい。
第8項が37. 第24項が117の
初項をa. 公差をd, 一般項をα とすると
a=a+7d=37･････ ①
「等差数列の一般項。
等差数列の第20項から
=a+23d=117 ......
②
a.=a+(n-1)d
第40項までの和Sを求めよ。
①.②を解いて,a=2,d=5
差
等差数列の和
Q
(2a+ (n-1)d}
S=Su-Su=40(2.2+39.5) 19(2-2+18-5) (2)
2
S=3980-893=3087
2
公差数
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比数列の和タイプ①
数の列で与えられているパターン Pointl 文字が入っているときは、 場合分けに注意!

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VisualMemory Card 等比数列の和タイプ②
約数の和パターン Point! •約数の和は等比数列の和の公式をうまく利用する。
例題1
1024のすべての正の約数
和を求めよ。
解答
1024=2より、1024の正の約数は
1,2,2,2, …………... 2 であり.
これは, 初項1, 公比2 項数11,
例題2
10000のすべての正の
約数の和を求めよ。
|約数の総和
解答
の等比数列なので.
等比数列の
1-(2-1)
(^-1)
=20474-
(r≠1 のとき)
-1
2-1
10000=10"=2'-5′より,
10000のすべての正の約数の和は
(1+2+2' +2' +2') (1+5+5° +5'+5')
を展開したときの項なので、
求める和は,
1·(2'-1) 1·(5'-1)
等比数列の和
a(-1)
自然数nがn=pq と素因数分解
できるときの正の約数の総和は
| (1+p+p²+---+p*) (1+g+q²+····
*+…+q^)
2-1
5-1
=(32-1)・
3125-1
4
=24211
例題 3
解答
432の正の約数のうち偶数
であるものの和を求めよ。
432=2'-3'より,432の正の約数の和は
(2' +2' +2' +2'+2°)(3'+'+'+3')
そのうち、偶数であるものは 2°は入らない!]
(2' +2'+2'+2')(3°+3'+3+3′-
等比数列の
を展開したときの項なので,
求める和は
a(-1)
(r1のとき)
-1
2-(2-1) 1.(3'-1)
公
2-1
3-1
|途中の数列の和パターン Point!
例題
=30-40=1200
(第k項から第1項までの和)=
(初項から第1項までの和)- (初項から第1項までの和)
解答
※第k項を初項として求めてもよい。
等比数列 1, 3, 9, 27,
等比数列1,3, 9, 27,
の第6項から第10項まで
は 初項1. 公比3,項数であるから,
S=S-S
比数列の和
の和sを求めよ。
1 (3-1)__1(3-1)
3-1
('-1)
(r≠1のとき)
3-1
30-3
2
=29403
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公式利用タイプ ①
階差数列の和パターン Point! 一般項を求めたら、あとはΣの公式!

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VisualMemory Chart 公式利用タイプ①
000
階差数列の和パターン Point
一般項を求めたら、あとはΣの公式!
例題
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
解答 階差数列 2, 3, 4, 5, ...は初項2. 公差1の等差数列より,
一般項を4. とすると,2のとき,=2+Σ(k+1)
=2+ ½ ½ (n−1)n+
-1)+1(n-1)+n+2 これは、n=1のときも満たす。
K+k+2
2, 4, 7, 11, 16, 22......
-1{cm(n+1) (2n+1)+1/2n(n+1)+2n}."(
一般項を求めて計算パターンPoint! 一般項を求めたら、あとはの公式!
n(m²+3n+8)
6
例
解答
次の数列の初項から第n項までの
和 S, を求めよ。
1-3, 3.5, 5-7, 7.9 は,各項の左右とも
等差数列となっているので、 一般項は
=(2k-1) (2k+1)= (4-1) となる。 よって,
1-3, 3-5, 5-7, 7.9 ......
S. = Σa; =Ź (4K²− 1) = 4 ŹR² - Ė
=4-
1.1/2n(n+1) (2n+1)-n-1/2"(4n'+6n-1)
a. (2k-1)=(4k²-4k+1)
[例題 [2]
解答
一般項をα. とすると
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
P, P+3P+3'451,1432450+7,
4
1 14.1m(n+1) (2x+1)-4.1m(n+1)+a}
-+-+-+(4m²-1)
S-a,-(4-1)
-/{4-1/n(n+1)(2x+1)-n}-
n(4n+6n-1)
9
(整数)×(文字)の数列の和 Roint! 各項の左側、右側の数列に着目し、対応関係を考える。
例題
1-n, 2-(n-1), 3-(n-2),
次の数列の和を求めよ。
1.n, 2-(n-1), 3-(n-2),
, (n-1)-2,n-1 ± 0.
|公差の
の第項をα, とすると, = k (n-k+1) となる。 等差数列
S.-a-k(n-k+1)
..., (n-1) 2.n-1
は定数とみて
= (n+1)k-K
|外に出せる。
=(n+1)n(n+1)n(n+1) (2n+1)n(n+1) (n+2)
6
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-公式利用タイプ②
「冬面が美数列の和」のパターン Daim
船が羊列の和にたる

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Visual Memory Chart 173
ooo
公式がそのまま使えないパターン Point! ・具体的に書き出して考えてみる。
(2k-1) は
+3
(2k-1)の和を求めよ。
初項2-4-1=7, 末頃2 (+3)-1=2n+5,
k-4
2
k-3
2241 の和を求めよ。
例題3
項数 (n+3) -4+1=nの
等差数列の和より
⇒数=b-a+1
等差数列の
Σ(2k-1)= n(7+2n+5)
-=n(n+6)←
S=(a+)
2
数
2
ごは
初項 23 27 公比は,k=3のとき,2,k=4のとき,
2241=2"より,2°+2'=4
項数n+3-3+1=n+1 +
⇒数=b-a+1
等比数列の
(2')' -1
2219-2
__('-1)
27
(r1のとき)
4-1
3.
22-28-2-8)
-2=1
であり,
⇒数=b-a+1
Σ 2 * の和を求めよ。
(2)は、初項 1. 公 12.
項数 -2+1=n-1
の等比数列の和より
822=8
-9)
等比数列の和
a(-1)
公
(r≠1のとき)
10
Ckの和を求めよ。
k-3
Ck^=3'+4 + … +10°
= (1+2+... +10) (12) より
6
-10-11-21- 2-3-54 k²=(n+1)(2n+1)
=385-5=380
1
6
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ち消しタイプ ①
部分分数分解パターン Roint! ・部分分数に分解することによって打ち消しあう!

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Vhand Moonny @than 公式利用タイプ ②
「各項が等差数列の和」の和パターン Point! ・一般項 α が等差数列の和になる。
例題
解答
1, 1+3, 1+3+5, 1+3 +5+7,
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,
の頃は初項 1. 末項2k-1.項数の
等差数列の和より 第k項をαとすると,
a=1+3+5+7+ ・・・・・・・ + (2k-1)
等差数列の和
-(1+2k-1)=+
S=(a+)
「各項が等比数列の和」の和パターン
例題
解答
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2 +2',
S-a,-k=n(n+1)(2n+1)
Point! 一般項 αが等比数列の和になる。
1, 12, 1+2+2, 1+2+2+2',
の頃は初項 1. 公比2.項数の
等比数列の和より 第k項を とすると,
a=1+2+2'+2'+....+2-11-(2'-1)
等比数列の和・
a(-1)
Sm
2-1
-1
初α. 公比数」
=2′-1
S.--(2-1)-2-
2-(2-1)_
-n=2"-"-2
2-1
各項が同数字(1桁ずつ増える)の和パターン Point! ・一般項を求める際に等比数列の和を利用する。
例題
解答 9, 99, 999, 9999, ...... の第k項は
|初1. 公比10.
次の数列の初項から第n項までの
和 S. を求めよ。
a=9(1+10+10'+... +10'')・
項数の等比数列
の
=9.
1-(10'-1)
10-1
=10'-1 となる。 よって.
9,99,999,9999,
例題
S.--(10-1)=10-1
10.(10^-1)__
10-1
A-1
10-9-10
9
=
▲の和パターン Point! 一般項を求める際に等比数列の和を利用する。
解答 27,2727,272727,27272727,
この第k項は
次の数列の初項から第n項までの
和S を求めよ。
27,2727, 272727, 27272727,
|初項1. 公比100.
=27(1+100+100 +... +100° )
|項数の等比数列の和
1 (100-1) 3
=27.
100-1
= (10-1) よって,
11
S.--(100-1)= 〔宮 (100-21)
'11
3100 (100-1),
11
100-1
11
-)-
100
(100-1)-3
363
11
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88
Q
公式利用タイプ ③
公式がそのまま使えないパターン Point! 具体的に書き出して考えてみる。