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H.26 1月進研記述高2模試 @自学
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B 7 3次関数 f(x) = x3 + ax' + 9x +1 があり, f'(2)=-3
を満たしている。また, y=f(x) のグラフをCとし, y軸上に
点P(0, k)をとる。 ただし, kは実数である。
(1) αの値を求めよ。
(2) C上の点(t, f(t)) におけるCの接線が点P を通るとき,
kをtを用いて表せ。
(3)点P を通るCの接線が3本あるとき,kのとり得る値の範囲
を求めよ。 また,この3本の接線のうち, 傾きが負であるもの
が1本だけあるとき,kのとり得る値の範囲を求めよ。
(配点 40)

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自学
(1) f(x) = x' + ax2 + 9x + 1 を微分すると
f'(x) = 3x2 +2ax + 9
f'(2) = -3
より
3.22 +2a.2 +9 = -3
よって
a = -6
(2) 接線の方程式を求める。
微分して
よって
整理して
f(x) = x3-6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 +2・(-6)x+9 = 3x2-12x + 9
f'(t) = 3t2-12t + 9
点(t, f(t))における接線の方程式は、定点公式により
y-(t3-6t2+9t + 1) = (3t2-12t+9)(x-t)
y=(3t2-12t+9)x -2t3 + 6t2 +1 ...... ①
①が点P を通るから、 ①にx = 0, y=kを代入すると
k = -2t3 +6t2 +1