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数と式(公式集) 【数学I】
[整式の整理]
5x2, -x3のように, 文字や数をかけてできた式を
係数)
単項式といいます。 かけている文字の個数を
⑤ xxxx.
次数といい,数の部分を係数といいます。
次数
個の文字
5x2+(-4x) +2のように, 単項式の和として表される式を
多項式といい,その1つ1つの単項式を,この多項式の項という。
単項式と多項式を合わせて 整式という。
整式の項の中で, 文字の部分が同じである項を同類項という。
同類項をまとめて整理した整式において, 最も次数の高い項の次数をその整式の
次数という。 また, 次数がnの整式をn 次式という。
2種類以上の文字を含む整式においても, 単項式と同じように, 特定の文字に着目して
係数や次数を考えることがある。 整式の項の中で,着目した文字を含まない項 を
定数項という。
整式は,ある文字に着目して,各項を次数が低くなる順に並べて整理することが多
い。このことを,降べきの順に整理するという。
[指数法則]
axa=a2,
axaxa=a3,
axaxaxa=a4,
:
指数
④個のα
A
=aXaxaxa
←aは α と考えます。
のように, a を 個かけたものをα” とかき, αの累乗といいます。
また, n を a" の 指数といいます。
指数法則・
mとが正の整数のとき
[1] amxa"=am+n
[2] (am)namn [3] (ab)"=anbn

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[展開]
(多項式)×(多項式)は,かっこをくり返しはずして計算します。
(多項式)×(多項式)を計算して単項式の和の形に表すことを,
|展開するといいます。
[1](a+b)=a' ±2ab +62
[2] (a+b)(a-b)=α2-62
[3]
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[4] (a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+2bc +2ca
[因数分解]
(+) 1)(D+D)
ac
a
b C d
展開
+ + +
ad bc bd
多項式を2つ以上の多項式の積の形に表すことを,
もとの多項式を因数分解するといいます。
積をつくっている各多項式を因数といいます。
[1] α2 ±2ab + b 2 = ( a + b ) 2
[2]
α2-b2=(a+b)(a-b)
[3]
x 2 + (a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
[たすき掛け]
- 展開
(x+1)(x+3) = x 2 + 4x +3
←因数分解━
acx2 + (ad + bc)x+bd=(ax + b)(cx+d)
例題 3x2+5x-2 を因数分解します。
ac=3 を1×3
bd=-2 を 1x(-2), (-1)x2, 2×(-1), (-2)x1
② その中で,ad+bc=5となるものをさがします。
まず, 3=1×3, -2=1×(-2) の場合を考えます。
a=1, 6=2,c=3, d=-1
のときが適するので
3x2+5x-2=(x+2)(3x-1)
と因数分解できます。
次のような手順です。
ななめにかける
たてにたす
→xの係数5と等
しいか確かめる
b → bc
ax
C
d → ad
ac
bd
ad+bc
1x
2
6x
3x
-1x
3x²
-2
5x

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[平方根]
2 乗すると αになる数を, αの平方根という。
2乗
5
52=25, (-5)²=25
25
-5
平方根
であるから, 5と5は25の平方根である。
正の数αの平方根は2つあり,それらは絶対値が等しく符号が異なる。 その正の平方
根を√a, 負の平方根を√と書く。 0の平方根は0だけであり, VO = 0 である。
記号√を根号といい, √を「ルート」と読む。
平方根の定義から,実数aについて, Va2= |a| が成り立つ。
la, b が正の数のとき
√a√6=√ab
=
√
a
√√√a2b=a√b
b
[平方根の足し算・引き算]
の中が同じ数字を、 同じ文字とみて計算する。
Step1: √の中を√ab=a√を利用して、できるだけ小さい数にする。
Step2: 文字式と同じように計算する。
Step3: (Va) が出てきたら、a に直す。
[分母の有理化]
分母にがある数を、分母に√がない形に変えることを、分母を有理化するという。
(a+b)(a-b)=a2-62 を利用します。
注意
[2重根号]
a > 0, b>0のとき
a > b > 0 のとき
√(a+b)+2√ab=√a+√6
√(a+b)-2√ab
=√a-く b
[1次方程式 ]
xの値が満たすべき関係を等号で表した式を, xの方程式といいます。 方程式を満たすx
の値を, 方程式の解といい, その解をすべて求めることを, 方程式を解くといいます。
1次方程式の解き方
Step1: 移項して、 x を含む項を左辺に、定数項を右辺に集める。
Step 2: 両辺を整理する。
Step 3: 両辺をxの係数で割る。

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[不等式]
不等号には<, >,≦, ≧ があります。
① a<b
......
aはbより小さい。
(2)
a>b
......
aはより大きい。
(3) a≦b ･･････ a は以下である。
a≥b
......
aは6以上である。
x>8や2x+1≤ −5 のように, 大小関係を不等号で表した式を不等式といいます。 不等
式においても, 等式の場合と同様に
・不等式
左辺, 右辺, 両辺
左辺
右辺
という用語を使います。 不等式について、 次の性質が成り立つ。
a<b
両辺
① 両辺に同じ数を足したり引いたり、 同じ正の数を
掛けたり、割ったりしても大小関係は変わらない。
両辺に同じ負の数を掛けたり、 割ったりすると、大小関係は逆転する。
[連立不等式]
Step1: それぞれの不等式を解く。
Step2: 不等式の解を、 数直線上に図示する。
Step3: 図を利用して、 解の共通範囲を求める。
注意
A<B<Cは、
[A<B
B<C
と同じ意味
[1次不等式の文章問題]
Step 1: 求める数量を x とおく。
Step 2: 文章で表された条件を、 xの不等式で表す。
Step3 Step 2で表した不等式を解く。
Step4: xが0以上の整数ならば、 Step3の解の範囲の中から、最適なものを選ぶ。
[絶対値を含む方程式・不等式]
cが正の定数のとき 方程式|x| = c の解は
不等式|x|<c の解は
不等式|x|>c の解は
x=±c
- c <x<c
x<-c, c<x

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[x,yについての2次式の因数分解]
1つの文字について整理して、 因数分解する。
Step1: xについて降べきの順に整理する。
Step2: 定数項となる yの2次式を因数分解する。
Step3: xの2次式とみて、 因数分解する。
[実数の分類]
数直線上の点として表される数を 実数といいます。
3
2
√3
-3 -2
-1
0
1
2
3
4
1
3 -1
2
整数
などのように,
の形に表される数を有理数といいます。 有理数
3'2'
4 1
整数
は,次の3種類のうちのどれかになります。
整数
}=2, 1=-
1=0
整数には,正の整数, 負の整数, 0 があります。 正の整数を自然数といいます。
(2)
有限小数 小数第何位かで終わる小数
(3)
循環小数 同じ数字の並びがずっとくり返される小数
有理数でない実数を 無理数といいます。
実数は,次のように分類されます。
・実数
有理数
無理数
正の整数 (自然数)
数
4'
12 0.318 など √2 など
・整数・
実数 -
・有理数 有限小数
循環小数
負の整数
0, -1, -2, …
・自然数
無限小数
1, 2, 3,...
無理数・・・ 循環しない無限小数
[絶対値]
実数 αの符号を除いた値を, αの絶対値といい、 |a|で表します。 数直線上で, 実数 α
を表す点と原点との距離はαの絶対値になります。
αが正の数または 0 のとき
|a|=a
αが負の数のとき
|a|=
=-a