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P-59 命題と証明
ex) 次のことを証明せよ
(1)nが奇数⇒ぴも奇数真接証明法
<証明>【考
恨が奇数ではない、つまり偶数であるとする
nが奇数⇒れは偶数は、
反例としてこのときの=9が挙げられるから
偽となる
奇数 奇数
↓
海
よって、nが奇数 ぴは偶数の逆である
ひが奇数→も奇数が真になる
<証明>正答
ひが奇数なので、n=2k+1と表せられる(Q:整数)
=(2k+1)2
=> 偶数
で成りたってないし、
そもそもこれは
対禍を使うので
F
= 46²+4k+1
=2(2k+2k)+1
=
2k22度は整数なので、他は奇数である!!
(2)ぴが偶数→れも偶数(真接証明法では難しい
裏
p q
料
対偶
q = P1
1g→
関接証明法
裏
逆

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関排証明法について
ex) (1)
Date
真x=1→プニプニノ→x=11脩
3
斜めのラインの
77(174) X=-1
郊偶
真偽は必ず一致
スキ11
x1 x1 真
反例)DC=-1
(2) xy>0x>かつy>0
1 (X=-2. Y=-1)
14
x>0かつy>0xy>0
真
x=0x=0またはy=0
真
対属
x=0またはy≦o⇒xy≦o
(x=-2.4=-1)
元の命題と対側の真偽は一到する。
ただし、逆裏は一到するとは限らない。
(2)の問いに戻る(ぴが偶数→んも偶数)
<証明>
対偶は「れが奇数⇒ぴも奇数」
ひが奇数なので、n=2k+1と表せられる(右:整数)
n²- (2k+1)
=4k+4+1
=2(2k2+2k)+1
対偶法
2k+2は整数なので、は奇数である。
決まり文句
よって対側は真であるもとの命題も真である!!

ページ3:

Date
問(1)が奇数→ひも奇数
<証明>
対偶をとって、「れが偶数⇒びも偶数」
ひが偶数なので、n=2mと表せられる(m:粉)
n2=(2m)2
4m²
=202m²)
2mは整数なので、ひそは偶数である。
よって対偶は真である。もとの命題も真である!!
(2)x,yは実数のとき、x+y>⇒「x>0またはy>0」
<証明>
対偶をとって、「XSOかつY=0」⇒x+y=0.
x=0かつy=0なので、x+y=0である
よって対偶は真である。もとの命題も真である!!
決まり文句を
忘れないようによ

ページ4:

P-61 ☆背理法
間接証明法・対偶法
背理法
その命題が成り立たないことを
仮定し、矛盾を導く。
背理法は
当たり前のことを
示すときに使うと
分かりやすい!
ex)√2が無理数であることは用いてよい。
12.2が無理数であることを示せ
<証明>
1+2.2が有理数であることを仮定する。
その有理数をγとすると、
1+2.52=r
2.2=r-1
12=
r-l
2
トは有理数なので、は有理数
12は無理数なので、矛盾!
よって、1+2.2は無理数である!!
仮定
矛盾
の形にする。

ページ5:

Date
ex) TTは無理数として良い。
√が無理数であることを示せ
<証明>
が有理数であることを仮定する。
その有理数をとすると、
JTC = r
π = r²
rは有理数なので、r2は有理数
兀は無理数なので矛盾
よって、√は無理数である!!
問 (3)「ηが偶数ならばひも偶数」は用いてよい。
√が無理数であることを示せ
<証明>
N2が有理数であることを仮定する。
その有理数をγとすると
2=72
矛盾がおこらない...
→長くなるので次ページで
解説
√2=x
2=x2

ページ6:

(3) 「ηが偶数ならばれも偶数」は用いてよい。
が無理数であることを示せ
<証明>
仮が有理数であることを仮定する。
NZ = a (aide the dato)
No.
Date
有理数は
ch
óch = a
2di² =α²
分数で表せる
ここを変える!
→adはし以外に
①
aは偶数なので、のも偶数である
正の公約数をもたない
自然数
☆adを有理数に
しない、
よって、a=2cとおける. (C: 整数)
a.caは自然数で
では既約分数にする。
-②
①に代入して
20= (20) 2
402
h²=20²
dは偶数なので、山も偶数である。
724167113 ( f $241)
②に代入して
既約分数
・・・すぐに納分された
分数のこと
永遠に続いてしまう
よって、②に予盾する。よってJ2は無理数
H

ページ7:

No.
Date
P-63-
ex) 次の条件の否定を述べよ
(1)「すべての実数xについてx170」
直
すべての小さい子は
ポケモンが好きである
確定「ある実数xについて x+1=0」
偽
Th
少なくとも1人の
(2)「ある実数)についてx4」
真
小さい子は
ポケモンが嫌いである
⑥「すべての実数についてのx4」
偽
「すべてのxについてP」の否定「あるXについて」
「ある水についてP」
の否定「すべての人についてア」
※否定をとると
真偽が逆になる

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