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まず準備として, x=cost+(1/3)cos(3t), y=sint+(1/3)sin(3t)から
dx/dt=-sint-sin(3t), dy/dt=cost+cos(3t)
d^2x/dt^2=-cost-3cos(3t), d^y/dt^2=-sint-3sin(3t)
を計算しておきます. またx, yとも最小周期が2πであることを確認しておきます.
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(1)dy/dt=4cos^3(t)-2cos(t)=2cos(t)(√2cos(t)-1)(√2cos(t)+1)
costの関数と見るとyは,
-1<cost<-1/√2で単調減少, -1/√2<cost<1/√2で単調増加, 1/√2<cost<1で単調減少
することが分かります[増減表にまとめてもよい].
すなわちyはcost=-1/√2で極小値, cost=1/√2で極大値をとることが分かります.
関数の連続性と端点cost=±1の値と比較することで, yのとり得る範囲は,
-2√2/3[例えばt=-π/4]≦y≦2√2/3[例えばt=π/4]となります.
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(2)速度ベクトル(dx/dt, dy/dt)の傾きが√3になるtを求めなさい, といっています.
(dy/dt)/(dx/dt)=√3, (dx/dt)≠0⇔√3(sint+sin3t)+cost+cos3t=0, 但しsint+sin3t≠0
⇔2sin(t+π/6)+2sin(3t+π/6)=0, 但しsint+sin3t≠0
⇔4sin(2t+π/6)cost=0, 但しsint+sin3t≠0 [和積の公式を使います]
このうち0<t<π/2⇔π/6<2t+π/6<7π/6の範囲にあるものは2t+π/6=π⇔ｔ＝5π/12のみです.
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(3)加速度の大きさは|α|=√{(d^2x/dt^2)^2+(d^2y/dt^2)^2}
=√{(-cost-3cos(3t))^2+(-sint-3sin(3t))^2=√(10+6cos(2t))
ここで0≦t≦2πにおけるcos(2t)の最小値はt=π/2, 3π/2のとき-1です.
したがって加速度の大きさの最小値も同じ時刻t=π/2, 3π/2でその値は2です.
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(4)時刻t=0からπまでの道のりLはL=∫[0->π]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
[教科書の証明を理解しよう. 聞かれることがあります]
=∫[0->π]√{2(1+cos(2t))}dt=2∫[0->π]|cost|dt=4∫[0->π/2]costdt=4
[絶対値を外したところは三角関数の対称性に注意して計算しました].
[差し替え]
(1)dy/dt=2cos(2t)cost. まずこの関数は奇関数で, 0≦t≦πを調べれば十分で
0<t<π/4で単調増加, π/4<t<π/2で単調減少, π/2<t<3π/4で単調増加, 3π/4<t<πで単調減少
することが分かります.
以上から-π≦t≦πの範囲ではt=-3π/4, -π/4, π/2で極小値, t=-π/2, π/4, 3π/4で極大値をとるといえます.
関数の連続性から, yのとり得る範囲は-2√2/3[t=-3π/4, -π/4]≦y≦2√2/3[t=π/4, 3π/4]となります.
遅くなりすみません。
ありがとうございます！！
[訂正]
したがって加速度の大きさが最小になる時刻も同じt=π/2, 3π/2でその値は2です