Question

ひさか

dim V=2であることは分かったのですが

Kernelの基底が分かりません。

教えてください。

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Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

写像が出てこないからKernelを求めようがないですね。
部分空間の基底のことですか？

ひさか

部分空間？なのかわからないのですが、

問題には、「この方程式の解空間をVとする基底を選びなさい。」と書かれています。

哲治

見にくくなってすいません。
数字がきれいにならないから計算自信ありません。
やり方はこんな感じですね。
最後は面倒くさいから計算してません。a,b,c,dに数字を代入して計算したら基底ですね。

ひさか

ありがとうございます。

大変申し訳ないのですが、その最後のa,b,c,dに数字を代入して計算するというのが理解できませんでした。

その続きもお願いできますでしょうか。
よろしくお願いします。

哲治

こんな感じですね。左側。

哲治

計算はともかく理論的には合ってますので。
落ち着いてご自身で計算してみてくださいね。

ひさか

ありがとうございます。

その左側の計算をして得られた計算結果と、右側の計算をして得られた計算結果の2つが基底として答えるものであるという認識であってますでしょうか？

哲治

その通りです。C2,C4は任意の実数であり、２つの基底が平行でなければ一次独立となり基底ですね。

哲治

dimV=2なんで基底となるベクトルは二個一組となりますので。

ひさか

右側を計算してみたところ、0になってしまいました。

哲治

すいません。失礼しました。訂正します。

哲治

Kernelとは写像がないと議論できないので。
移った先でゼロになる元の要素なんで。問題の全部を見てないから。あくまで４個のベクトルから趣旨を推測しただけなんで。

ひさか

分かりました。

では、今回の問題での基底はaとdであるということでよろしいでしょうか？

哲治

全文あるなら見せてもらえませんか？

ひさか

全文というのはその問題のことでしょうか？

それでしたら、こちらの写真です。

哲治

そうじゃなくて、この問題の全文です。

ひさか

失礼しました。こういうことでしょうか？
間違っていたらごめんなさい。

哲治

カーネルって書いてないですね。
だから僕ので合ってます。

哲治

カーネルを求める問題と混乱してますね。
ちなみにこんな問題ですね。

哲治

その通りです。写像が定義されてるから。

哲治

表現行列Aがきちんと定義されてるでしょ。

哲治

今回のはベクトル空間の次元と基底を求めるだけなんで。
何かを何かに写す写像が全く出てきてないですよね。

哲治

しかも今回のは連立一次方程式も一ミリも出てきてないのわかりますか？
その写真は連立一次方程式の解空間を求める問題ですね。
だから今回とは全く違いますよ。

哲治

その通りですね。

ひさか

ありがとうございます。

最後に赤線で囲ったところの式をどのように求めたのか教えて頂けますか。

哲治

こんな感じですね。

哲治

こんな感じですね。

ひさか

すみません、この5と-4/3はどこから求めたのですか？

哲治

つまり４個のベクトルで張られるベクトル空間を考えるわけですけれど、次元は行基本変形により2とわかりましたよね？そして基底としてa,dを選んだのなら残りのb,cは基底a,dの線形結合の形で表されないといけないのわかりますか？
だからうまく合うように計算してるわけです。

ひさか

分かりました。ありがとうございました。