✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
これはヒントが間違っているような気がします.
(正) y=(logx)/xのグラフを用いて
として考えてみましょう.
***[以下は自分で考えてから読んでみましょう]
x>0で定義された関数f(x)=(logx)/xを考える.
この関数は微分可能で導関数f'(x)=(1-logx)/x^2を得る.
ここで区間e<x<πではf'(x)<0なので関数f(x)は(狭義)単調減少する.
すなわちf(e)>f(π)⇔loge/e>logπ/π⇔πloge>elogπ⇔log(e^π)>log(π^e)がいえる.
対数関数logxは(狭義)単調増加関数だからe^π>π^e, すなわちe^πが大きい数と判断できる
まず導関数からx=eで極大値をとることが分かります.
変曲点はf''(x)=(-3+2log(x))/x^3からx=e^(3/2)のとき
問題はx->0とx->∞ですが
lim[x->0]log(x)/x=-∞なのでy軸が漸近線
lim[x->∞]log(x)/x=0なのでx軸が漸近線
であることが分かります. あとは自分で図示してみてください.
***
[研究]
x>1ならばlog(x)<√xが成り立ちます[自分で証明してみよう].
不等式０<log(x)/x<1/√xとハサミウチの原理からlim[x->∞]log(x)/x=0がいえます.
log(x)/xでx=1/tと置き換えるとlog(x)/x=-tlogtとなります.
x->0+ならばt->∞なのでlog(x)/xは-∞へ発散することが分かります.
すいませんグラフの形はどのようになりましたか？