基本的なアイデアは、
「任意のM>0に対して "n≧Nならばx[n]>M" を満たす自然数Nが取れるので、
(x₁+x₂+...+x[n])/n＝(x₁+...+x[N-1])/n＋(x[N]+...+x[n])/n
と分解して不等式変形していく」
というものでいいと思いますが、細かいところで調整する必要がありそうです
より具体的に書くとこんな感じでしょうか
<証明の概略>
任意にM>0をとる
↓
"n≧N₁ならばx[n]>M" を満たす自然数N₁が取れる
↓
M'=max{M, M-(x[1]+...+x[N₁-1])/N₁} とする
( n≧N₁ のとき、x[1]+...+x[N₁-1] の正負によらず M'≧M-(x[1]+...+x[N₁-1])/n が言える )
↓
"n≧N₁'ならばx[n]>2M' " を満たす自然数N₁'が取れる。N₂=max{N₁,N₁'}とする
↓
n≧2N₂ のとき
x[1]+...+x[n] x[1]+...+x[N₁-1] x[N₁]+...+x[N₂-1] x[N₂]+...+x[n]
——————＝———————＋————————＋———————
n n n n
と分解して、最終的にMより大きいことを示す
