Question

よわよわ

I_(m,n)=∫{(sinx)^m}{(cosx)^n} dx
に対してI_(m,n)、I_(m,n-2)の漸化式を求める問題

{(sinx)^m}{(cosx)^n}を微分すると
m(sinx)^(m-1)*(cosx)^(n+1) - n(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)
ここで、両辺積分した上で整理すると

m∫(sinx)^(m-1)*(cosx)^(n+1) dx
={(sinx)^m}{(cosx)^n}+n∫(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1) dx

となりますのでm=m+1，n=n-1を代入すると
(m+1)∫(sinx)^m*(cosx)^n dx
={(sinx)^(m+1)}{(cosx)^(n-1)}+(n-1)∫(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-2) dx
となります
I_(m,n-2)を作ろうとしたらどうしてもI_(m+2,n-2)がでてくるので困ってます

数学つよつよ助けてください

積分漸化式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

らい

sinx^(m+2)=sinx^m(1-cosx^2)
を使って整理すれば作れると思います。

よわよわ

なるほど～その考えは抜けてた
ほんと助かりました