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群論を学習済みならラグランジュの定理で示せます
σᵏ=1
となる最小の正整数をk₀とすると、
{σᵏ|k∈ℤ}
はSnの部分群で、位数はk₀なのでラグランジュの定理よりk₀はn!を割り切ります
n!=k₀i
とおけば
σ^(n!)=(σᵏ⁰)ⁱ=1
が得られます
そうでしたか。ラグランジュの定理は群論の入り口あたりの知識で十分証明ができ、今回の問に適用するだけなら置換が全単射なことくらいしか本質的には使わないのですが、少し考えたら別の示し方を思い付きました
(証)
自然数 m=1,2,⋯,n に対して、σᵏ(m) の取りうる値は1からnのn通りしかないので
m, σ(m), σ²(m), ⋯, σⁿ(m)
のうちどれか２つは値が一致します。そこで、
σᵏ¹(m)＝σᵏ²(m) (0≦k₁<k₂≦n)
であったとすると、両辺に σ⁻ᵏ¹ を作用させて
m＝σᵏ²⁻ᵏ¹(m)
です。ここで、k₂-k₁は1以上n以下の自然数なのでn!を割り切り、よって
σ^(n!)(m)＝m ⋯ (#)
(※わかりづらいですが σ^(n!)(m) はmにσをn!回作用させたものです)
が成り立ちます
(k₂-k₁はmによって異なりますが)各自然数mに対して(#)が言えるので
σ^(n!)＝id ◻︎
なるほど。ありがとうございました。
いえいえ
なるほど、ありがとうございます。しかし、これは学部の線形代数の講義で出された演習課題(行列式のセクションで置換のさわりを扱った)ですので、群論について基礎的な知識(積閉、分配法則、単位元、逆元の存在)しかない人でも証明することはできるのでしょうか。