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符号に着目することがポイントでしょう.
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α<0<βならばαβ<0である.
したがって等比数列の公比は負である[正だと矛盾します]から, αβ, β, α, あるいは逆に並べたものである.
いずれの場合も等比中項はα^2β=β^2で関係式β=α^2を得る.
一方, 等差数列はαβ, α, βあるいは逆に並べたもの, もしくはα, αβ, βあるいは逆に並べたもののどれかである.
前者の場合, 等差中項からαβ+β=2α⇔α^3+α^2=2α⇔α^2+α-2=0⇔(α+2)(α-1)=0⇔α=-2 [α<0に注意]
後者の場合, 等差中公からα+β=2αβ⇔α+α^2=2α^3⇔2α^2-α-1=0⇔(2α+1)(α-1)=0⇔α=-1/2
以上から(α, β)=(-1/2, 1/4), (-2, 4)が考えられる.
丁寧にありがとうございます🙇♀️✨✨✨