Question

ɐ

ε-N論法について。なぜn≧NのときにAnが(α-ε)から(α+ε)までの範囲に入るのかがわかりません。
授業では写真のようにな数直線で表すと習いました。|An-α|がAnからαの距離を表しているのはわかるのですが、なぜn≧Nのときに|An-α|<εという式は(α-ε)から(α+ε)の範囲までにAnが入るということを表せるのでしょうか。

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い                              ]

ε-n論法 イプシロンエヌ論法 数学 数3

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

たろーまる

n≧Nのとき、|an-α|<εというのは
質問者さんの言う通りN以上のnにたいして
anとαの距離が任意の実数εより小さい、
言ってしまえばanとαが限りなく近づくということです。

ただし、このanに関しては言えばどのようにαに近づくかは論証されていません。つまり、anはαに左から近づくかもしれないし、右からかもしれません。
つまり、anとαの大小関係は約束されていないので、
α-ε<an<α+ε となります。

ɐ

ごめんなさい、最後の1文に飛ぶのが理解できません😭
Anが左もしくは右からくるかがわかっていないため、Anとαの大小関係が約束されていないのはわかります。
ですが、なぜそれがα-ε<An<α+εを導けるのでしょうか。

たろーまる

そこまで理解が進めば
高校数学の絶対値の処理で十分ではないでしょうか？

ɐ

そういうことでしたか！！すごくスッキリしました！
ありがとうございます😭😭😭😭😭😭😭

たろーまる

うまく伝わったみたいで良かったです。
anの設定次第ではもちろん片側に絞れますが、
一般論で言うとどちらも捨てられないのです！

勉強頑張ってください！

ɐ

本当にありがとうございました😭

Answer 2

バンダースナッチ

どのような正数εでも、その近傍に|a_n-α|が収まる、どこまでも小さくとって良いのなら、結局a_n-α=0として良いだろう。このような論調ですね。また、無限の議論を有限の議論に落としこみたいので、上の主張が成り立つようにnを調整するわけです

ɐ

ありがとうございます！