Question

nana

しかし以降の文章の意味が分かりません。
どなたか教えてください🙇‍♀️
よろしくお願いします
なぜこのような証明になるのでしょうか

ーーっ

1ーー と 表をる (だ2
Z は互いに素)

しかし, イイ  となり

7 2 が無理数であることに矛盾する.
よって, 2 十1 は有理数でない.
つまり, 2 十1 は無理数である.

7胃。

Answer 1

補集合

まず、有理数とは(整数)/(整数)と表すことのできる数です。それに対し、無理数とは(整数)/(整数)と表せない数です。
√2+1を有理数であると仮定するとm、nを整数として、√2+1=n／m・・・①と表すことができます。
①を変形すると√2=(n-m)/mとなります。
n、mは整数ですから、n-mは整数となります。
《(整数)ー(整数)=(整数)》
よって√2は無理数ですが、(整数)/(整数)と表せてしまうので矛盾しています。よって√2+1は無理数でない、すなわち有理数です。

Answer 2

ツバキ

基本的にそれって当たり前じゃね？と思うことは背理法で証明しやすいです。
実数は有理数または無理数に分類されるため、√2+1を無理数と証明するためには、有理数ではないと証明できればいいです。
問題文で√2が無理数であることを使って良いとあったのか、問一で求めたのか知りませんが、基本的に問題文になければこういう問題は√2も無理数であることも証明しなければなりません。
本題に入ります。背理法とは理に背く、つまり、事実と反することを見つけます。事実とは基本的に定義と考えていいでしょう。今回の場合、有理数の定義はn/m（具体的な条件は省略）です。√2+１を有理数と仮定した場合、
√2+1＝n/m　と表され、
√2＝n/m-1
＝（n-m）/m
√2は無理数である事実と反しました。これは計算過程にミスがなければ、最初に仮定したことにミスがあります。これを利用した証明法が背理法です。

nana

なるほど！わかりました！
ありがとうございます☺️

Answer 3

もっくん

無理数は分数で表すことができません
しかし解答ではn-m/mという分数で表せています
なのでは有理数です

nana

わかりました！
ありがとうございます！