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2^x+2^(-x)の関数とみて処理すること, 2^x+2^(-x)に制限があることは分かっていますね.
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y=4(2^x+2^(-x))-(4^x+4^(-x))
=4(2^x+2^(-x))-{(2^x+2^(-x))^2-2*2^(x)*2^(-x)}
=-(2^x+2^(-x))^2+4(2^x+2^(-x))+2
と書けるので2^x+2^(-x)と見なすことが出来る.
そこでu=2^x+2^(-x)と置き換える.
ここで2^x>0, 2^(-x)>0なので相加相乗平均の関係からu≧2√{(2^x)*(2^(-x))}=2[等号成立はx=0のとき]という制限がつく.
したがってy=-u^2+4u+2(u≧2)の最大値を求めればよい.
平方完成するとy=-(u-2)^2+6で頂点位置u=2は定義域に含まれているのでu=2のとき, 最大値6をとる.
u=2というのは"相加相乗平均の関係における等号成立条件だから"x=0である.
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2^x+2^(-x)=2を解くならば
2^x>0を両辺に掛けて
2^(2x)-2*2^x+1=0⇔(2^x-1)^2=0⇔2^x=1
底を2とする対数をとることでx=0と求まります.
