Question

幹人

マクローリン展開についてです。
x*sinxのn＝4までのマクローリン展開を求める問題なのですが
①sinxのみ展開したあとにxを掛けるという人もいれば
②地道に微分していく
③ライプニッツの式の利用
果たしてどれが正しいのですか？
答えも違ってくるのでわからないです。
また、有限ではないマクローリン展開は①を利用するのですか？

微分積分 ライプニッツの公式 テーラー展開 マクローリン展開 導関数

Answer 1

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にゃんこ

①は論外ですよ

①sinxのみ展開したあとにxを掛ける

と微分結果がおかしくなります。

正解は(正解というべきなのか)②と③です。
正確にいうと③を使って②をする。
です。

ライプニッツの公式は

[{f(x)·g(x)}⁽ⁿ⁾=Σ[k=0…n] nCk·f(x)⁽ᵏ⁾·g(x)⁽ⁿ⁻ᵏ⁾

です。
これのn=1バージョン、
つまり積の微分公式のことです。

{f(x)·g(x)}'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

これらを用いて与式を微分してみると、

(xsinx)'=x'·sinx+x·(sinx)'

=sinx+xcosx

(sinx+xcosx)'=cosx+x'·cosx+x·(cosx)'

=2cosx-xsinx

(2cosx-xsinx)'=(2cosx)'-(xsinx)'

=-2sinx-(sinx+xcosx)

=-3sinx-xcosx

(-3sinx-xcosx)'=(-3sinx)'-(xcosx)'

=-3cosx-{x'·cosx+x·(cosx)'}

=-3cosx-(cosx-xsinx)

=-4cosx+xsinx //

地道にやった結果。
地道にめんどくせえーって思うかも知れませんが、
ライプニッツの公式を使っていちいち計算する方が面倒になりますね。
なぜなら、

マクローリン展開は

f(x)=f(0)+f'(0)x+{f"(0)/2}x²+{f'"(0)/3!}x³+
{f""(0)/4!}x⁴...

ですから、f(x)のn回微分の値がわからないと解けないのです。

よって、地道に②を使って解いていくやり方の方がいいかと思います。

幹人

地道に計算して答えが一致したので、納得できました。しかし、↓の問題の場合は解き方がまた異なるのでよく分からないです、、、
地道に微分していくのか、xのべき乗以外の関数のみを展開していくのか、どうやって問題で使い分けるのか曖昧です