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(1)正しい
y∈f(A_1∪A_2)とする。このとき、あるx∈A_1∪A_2が存在して、y=f(x)となる。x∈A_1またはx∈A_2なので、y∈f(A_1)∪f(A_2)となる。
逆に、y∈f(A_1)∪f(A_2)とする。つまり、y∈f(A_1)またはy∈f(A_2)である。このとき、あるxが存在してy=f(x)となり、x∈A_1∪A_2となる。∴y∈ f(A_1∪A_2)
(2)正しくない
f:R → R , f(x)=sin(x)
A_1=[0,π/2] A_2=[π/2,π]
が反例である。実際、A_1∩A_2={π/2}なので
f(A_1∩A_2)={1}だが、f(A_1)=[0,1], f(A_2)=[0,1]より
f(A_1)∩f(A_2)=[0,1]となる。
(3)正しい
y∈f(A∩f^(-1)(B))とする。このとき、ある
x∈A∩f^(-1)(B)が存在してy=f(x)となっている。x∈Aなので、y∈f(A)である。また、x∈f^(-1)(B)より
y=f(B)∈Bとなる。
逆にy∈f(A)∩Bとする。y∈f(A)より、y=f(x)となるx∈Aが存在している。また、y∈Bよりf(x)∈Bでもある。よって、x∈f^(-1)(B)となる。x∈ A∩f^(-1)(B)より
y∈f(A∩f^(-1)(B))となる
y=f(x)∈Bです
ミスってました
間違えてたらすみません