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xについての2次不等式なのでa≠0[a=0のときは-x+2>0なのでxについての1次不等式]です.
したがってこの問題は2次関数y=ax^2-(a+1)x+(a+2)がy=0[x軸]より常に上にあるようなaを定めることと同値です.
a<0のとき, 2次関数y=ax^2-(a+1)x+(a+2)は上に凸なので, xが極端に大きい時はaの値に関わらずy<0[★]. したがって条件を満たせません.
a>0のとき, 2次関数y=ax^2-(a+1)x+(a+2)は下に凸で, 軸のy座標が0より大きい時, 条件を満たすことが出来る[ここから平方完成してもよい].
これは2次方程式ax^2-(a+1)x+(a+2)=0が実数解をもたない, すなわちa>0の下で判別式D=(a+1)^2-4a(a+2)<0⇔3a^2+6a-1>0であればよい[計算はこちらの方が楽です].
このaに関する2次不等式を解くとa>(2√3-3)/3[√3>1.7なので2√3-3>0です.]で, この範囲であればよい.
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数IIIで学ぶ極限の知識があれば
ax^2-(a+1)x+(a+2)=ax^2[1-{(a+1)/a}*1/x+{(a+2)/a|*1/x^2] [関数の振る舞いを支配する主要項を前に出します.]
と変形して, 極限x→±∞では1/x→0, 1/x^2→0なので1-{(a+1)/a}*1/x+{(a+2)/a|*1/x^2→1, x^2→∞
このときa<0だとlim[x→±∞]ax^2-(a+1)x+(a+2)=-∞となるので条件を満たすことは出来ない.
と★の部分に幾分説得性をもたせることが出来ます. まだ高1ならそんなもんか,と思う程度でいいです.
