Question

ゲスト

問題
Gをアーベル群，HをGの部分群とする．
∀x∈Gに対して，xHx*=H が成り立つことを示せ．
(x*:=xの逆元)

解答
Gはアーベル群であるから，Gの部分群であるHもアーベル群である．
よって
xHx*={xhx*|h∈H}={xx*h|h∈H}={h|h∈H}=H

間違ってたらどうしたら良いか教えてください。

Answer 1

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gößt

Hがアーベル群、だと
hh'＝h'h for ∀h, h'∈H
しか言えず、証明内で用いている
hx*＝x*h
を主張するには少し不都合が生じます
証明自体はほぼ正しいので以下のように修正すればよいです

解答
xHx*={xhx*|h∈H}
={xx*h|h∈H} (∵G:abel ゆえ hx*=x*h)
={h|h∈H}=H ◻︎

ゲスト

回答ありがとうございました。

gößt

いえいえ(｀・ω・´)