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2枚めの画像中に dx/dr,dy/dr,dθ/dr などの記号がありますが、xやy,θがrの関数でないとこういう書き方はできないです
となると、これらの変数がrの関数になるように自然と範囲を制限しないといけないです。この場合だと第一象限に制限するのが普通かと思います(他の部分でもよいですが)
そうすれば、レムニスケートの対称性より2ϖが件の定積分の4倍で表されることがわかるかと思います
あるいは、予め
2ϖ＝2∫[-π/4,π/4]√{(dx/dθ)²+(dy/dθ)²}dθ
で計算して置換積分すれば迷いはないかと思います。計算していないのでうまくいくかは確認していないですが
第1種楕円積分のところですが、
∫[0,π/2]dt/√{1-(1/√2)²sin²t}
において r=cost と置換すればこの定積分が ϖ/√2 に等しいことが確認できるかと
制限されるのは分かっていたのですが、どこで制限されてしまっているのかが分かっていない状態です。
後半ですが、どこからr＝costで置換しようという発想になるのでしょうか？
そうです。
πと微積分の23話 という本ですが、23項目で構成されているので楕円積分に関して書かれているのはほんの数ページになります。なのでこの本でない方が良いかと思います。
「どこで制限されてしまっているのか」の「どこ」というのが「どのような範囲に」という意味であれば、x,y,θがrの関数になっているような範囲であればどこでも大丈夫です
つまり、
-π/4≦θ≦0
0≦θ≦π/4
3π/4≦θ≦π
π≦θ≦5π/4
のどれかになりますね
あるいは「どこ」が「どうして」「手書きの解答のどこで」と意味であれば、上に書いたようにx,y,θをrの関数としているところですね。少なくとも定積分を立式するところではどうしてもrの関数と見ないといけなくなると思います
置換については、結論の式を見て天下り的に考えました
1-r⁴＝(1-r²)(1+r²)
であり、
1-(1/2)sin²t＝(1/2)(2-sin²t)
＝(1/2)(1+cos²t)
なので cost=r と置いたらうまくいきそうだなって具合です
なるほどありがとうございます。大学の図書館で検索したら見つかりました。どちらかというと元の本を確認できた方が回答しやすいかなーって思っていたからで、楕円積分はついでの興味という感じだったのでそれでも大丈夫です
前半部分は納得出来ました！
後半はdtをdrに変換する時に上手くいかないように気がするのですが…。
そうなんですね、わざわざありがとうございます。ここでやりとりするのは自分には少し難しすぎたようなので、明日学校で聞いてきます。
親切にありがとうございました。
積分範囲を[0,π/2]としているため、
dr＝-sintdt＝-√(1-cos²t)dt
∴dt＝-{1/√(1-r²)}dr
となり、
{1/√(1+cos²t)}dt
＝{1/√(1+r²)}•{-1/√(1-r²)}dr
＝dr/√(1-r⁴)
といった流れで計算できます
それがいいかもしれないですね
ところで、この本は何という本でしょうか？楕円積分はほとんど知らないので少し興味があるのですが。
見た感じ日本評論社の本ですかね？