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接点のx座標がpなので、
①が点Aを通る時に実数pの値が2つ存在する条件を調べたいからです。

というのも、最初の式y=---はyに関する二次関数なので、xの値が異なれば、必ず別の点を表します。つまり、y=---を満たすx座標が2つあれば、交点(ここでは接点)が2つあるとわかるということです。

したがって、今求めたいのは実数pが2つ存在する条件というわけです。そのためにも、p^2=~~~という形にするのが最適なのです。

HAJIME

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