Question

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イについて
8^2k≡4 が保証されるのはなぜですか

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452
合同式の利用 ……… 累乗の数の余りを求める      、 。 。 2抽生
村還|例題 116 /      タ my    っ.50基事項 ⑳⑰⑯④①①

合同式を利用して. 次のものを求めよ。
(1) 7) 13"" を 9 で割った余り ①) 2000200 を12 で割った余り 【Q①) 早邊RA
(2) 4721 の一の位の数                                       (2) 類 自治医大

 

 

 

指針に 乗法に関する次の性質を利用する。

_g孝ち (mod zz), c三@ (mod zz) のとき
_3 go財2g (mod ),         4 自然数 ヵ に対し @"邦"(mod 7)
(1) 累乗の数に関する余りの問題では, 余りの周期性に着目する ことがポイントであ々。
また, 合同式を利用して, 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算がらバに
2のの1 バー  gの7の を指数の 底 という。
特に, @"寺1 (mod 久) となるよう な 7ヵ が見つかれば, 問題の見通しがかなり 良くな6。
(2) ある自然数 の一の位の数は, パを10 で割ったときの余りに等しい。  したがって,

且解 答

(1) ⑦) 13寺4 (mod 9) でぁり
鑑圭16圭7 (mod 9).
ゆえに 40主4・(4⑯)"三4 (mod 9)
よって 13%圭41財4 (mod 9)
且だがうて、 求める余りは. 4
イプ) 2000財8 (mod 12) であり
8圭8・4圭8 (mod 12),        寺(82)”三4?圭4 (mod 12)
ゆえに, んを自然数とすると 8“剛4 (mod 12)
由sてで 20002⑳寺82二4 (mod12)
したがって, 求める余りは 4
(2) 47財7 (mod 10) であり   7?財49圭9 (mod 10),
73財9・7生3 (mod 10),      7*計9?寿1 (mod 10)
に    旨) ・ ・7?圭152.3圭1・3寺3 (mod 10)

43三64寿1 (mod 9)

8圭64財4 (mod 12),

>

  

 

  

313 と4は9 を法として。
同であることに着上し

に関する余りを詩べヵ.
137 13? を 9 で割った人
を調べてもよいが, -胃に
42。 4 の方がらく。

20007 の計算は面倒。
2000 を 12 で割った余りは
8 であるから, 2000 と8は
12 を法として合同。

したがって, 8" に関す4余
り を調べる。

2011=ニ4X502二3

Answer 1

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ゲスト

8^4でやった操作と同様の操作を繰り返すと法が12なので2n乗が４なのが確かめられます
試しに8^6を２乗や４乗からつくるとわかります