Question

まさまる

位相空間の問題です。急なんですが、明日発表しないといけなくなりました。教えていただけると助かります。お願いします。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

gößt

有界集合ではなく、有界閉集合ではないですか？

この命題はけっこう難しく、特に右から左はハイネ・ボレルの被覆定理と名前がつく程度には示すのが大変なので、参考書など見れば証明が載っているのではないでしょうか。探しても見つからなかったら私の持っている本の証明を載せますね

まさまる

すいません。その証明載せて頂いてもよろしいですか？

gößt

左から右はここに書きますね。右から左は長いので画像参照で

<有界性>
x∈ℝⁿ を適当に一つとる
O={ {y∈ℝⁿ| ||x-y||<m} }_(m∈ℕ)
で定まる開集合系をOとすればOはAの開被覆である
Aはコンパクトより、Aの有限部分被覆Sが存在し、Sの元でmが最大であるものをとれば
A⊂{y∈ℝⁿ| ||x-y||<m}
よってAは有界 ◻︎

<閉集合>
任意に x∉A を一つとる
O={ {y∈ℝⁿ| ||x-y||>1/m} }_(m∈ℕ)
で定まる開集合系をOとすればOはAの開被覆である
Aはコンパクトより、Aの有限部分被覆Sが存在し、Sの元でmが最大であるものをとれば
A⊂{y∈ℝⁿ| ||x-y||>1/m}
よって、
{y∈ℝⁿ| ||x-y||<1/m}⊂A ͨ
なのでAは閉集合 ◻︎

まさまる

返事遅くなりました。とても参考になりました。友達と一緒に何とか最後まで読むことができました。ありがとうございます。

gößt

よかったです(｀・ω・´)