虚数には大きさがないから複素数が正や負なら実数

Question

虚数には大きさがないから複素数が正や負なら実数
とはどういうことですか？

高見 · Accepted Answer

虚数には大きさがないので、純虚数や複素数は大小が比較できないだけでなく、正負もありません。よって、正負がわかるということは純虚数や複素数でない、すなわち実数であるということです。

hizumi · Answer

まず、前提として(実数と実数)は大小関係を比べることができるけど、(虚数と虚数)や(実数と虚数)は大小関係は定義できない。
理由は、単純で、複素数a+biでb≠0のものを全て虚数として扱うから、実軸上のb=0のときで(実数と実数)でしか大小関係を比較できない。ここで疑問が生じる訳なのだが、i>0で定義すればよいのではないか？と。しかし、虚数まで大小関係に入れてしまうと、a>0かつb>0⟹ab>0という実数の大小関係にある性質が、i>0かつi>0 ⟹i^2=(-1)>0というおかしなことになってしまって、大小関係の整合性が取れなくなる。これはi<0と定義しても同じ。
だから、虚数が入った大小関係は比較できないが、代わりに複素数の絶対値というのが定義されている。
つまり、複素数w=a+biの原点からの距離を絶対値|w|=√(a^2+b^2)と定義してあげれば、wは虚数を含むのでw>0やw<0では大小関係を比較できないが、複素数が正や負でも絶対値|w|=√(a^2+b^2)を利用してあたかもwを実数として扱えるということ。
こういうことがいいたいのではないかと。
なので、おそらく、それについて書かれているものは、絶対値wが出ているはずです。

理系のシモン · Answer

虚数には大小関係はありませんが、
虚数に大きさがないというのは間違いです。
虚数の大きさとは、原点0からの距離を表します。
すなわち、2+3iの大きさといったら、
√(4+9)＝√13
これが大きさです。
虚数は、イメージ的にはベクトルのイメージです。
方向がある感じです。(本質的には、実部と虚部のという二つの要素を、大きさと向きという二つの要素に置き換えて考えている。)
なので、単純に不等号ではあらわせないですよね？