ゲストさんの解法も間違いでないが、この問題の真意は、「sinとcosの基本対称式を使ってみよう」ってことやで。
sinθ+cosθ=-1/2を両辺二乗すると、sinθ×cosθの値が出るはず。
あとは、sin^3θ-cos^3θを因数分解すると、<sinθ+cosθ>と<sinθ×cosθ>のみで表せられるから、代入したらもとまるよ。
あ、失敬。sin^3θ-cos^3θは交代式なので、sinθ-cosθの値も求める必要がありますね！
さっきのやり方でsinθ×cosθの値は出るはずなので、
(sinθ-cosθ)^2=sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ=1-2sinθcosθ
であることに注意して、sinθ-cosθの値を求めてみましょう！二乗を外すとき、２つでるうちどっちの値をとるかは、θの定義域を参考にして考えましょう。
質問者さんはsin^3θ-cos^3θを正しく因数分解できていますかね？と
sin³θ-cos³θ=(sinθ-cosθ)³+3sinθcosθ(sinθ-cosθ)ですよね？
-3sincos(sin-cos)じゃない？
それでやって、答えを出したんですが、解答と答えが合わなくて…