判別式はあくまで位置関係を把握するものなので、具体的な値を求めたいときには使えません。また、範囲がすべての実数ではない(-1≦x≦1など)限られた範囲のとき、その範囲での位置関係を把握することもできません。
以下、解はすべて実数で考えます。
解の公式というのは、2次方程式の解を求める際に使うものです。すなわち、2x^2+3x+2=0の解を求めていることになります。これは、グラフ上で考えると、2次関数y=2x^2+3x+2について、y=0の場合(0=2x^2+3x+2なので2x^2+3x+2=0)を指します。グラフ上でy=0というのはx軸を指すので、この2次関数y=2x^2+3x+2とy=0すなわちx軸との交点のx座標(xの値)にあたるのが2次方程式2x^2+3x+2=0の解になります。
ところが、判別式Dを用いて調べると、Dが負なのでこの2次関数がx軸と交わることはありません。すなわち、2次方程式2x^2+3x+2=0が解を持ちません。なので、いくら判別式を使っても解は出ません。逆に言えば、解の公式を使って解を持たないので、こいつがx軸と交わることはない、すなわちこの2次関数は、常にyが正をとる、だからこの2次不等式は常に成り立つという考えもOKですが、そもそもなんで解の公式を使っても実数解が出ないかというと、それは解の公式中の√b^2-4acの部分が負になってしまい、虚数になる(実数にならない)からで、ここから定義されたのが判別式なので、わざわざ原点に戻って考えているようなことになります。
まとめ
2次方程式ax^2+bx+c=0の実数解は2次関数y=ax^2+bx+cとx軸の交点のx座標の値になる。
よって、2次方程式の解の公式で±√b^2-4acにあたる部分のb^2-4acが正になって、実数になる場合は、±√b^2-4acが+と-の2つの解をもつので、x軸と2点で交わることになるからb^2-4ac＞0ならばx軸と2つの共有点を持つ。これをDとするとD＞0ならばx軸と2点で交わる。これをb^2-4acが0,負の場合についてやってもそれぞれ1点で交わる、交わらないがわかる。
詳しく説明していただきありがとうございます！
例として、なんでこの問題判別式使えないのかわからんみたいなのがあれば送ってくれたら教えます。