xy平面上の原点中心で半径1の円の内部領域Dで∬_D x^(2n) dxdyを計算するとき、積分変数をr,θに変えてやろうとしましたが、最後にcos2θのn乗が現れて積分できなくなりました。かといって、xとyそのまま使ってもうまくいきそうにありません。いいやり方があれば教えてください。
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sinやcosのn乗の積分には二重階乗を使った公式があります。
https://mathtrain.jp/int_sinnx
を参考にしてください。
積分区間を0〜π/2,π/2〜π,π〜3π/2,3π/2〜2πに分けて平行移動して全てsin,cosのn乗の0〜π/2での積分に帰着したら計算できそうですが、どうでしょう。
できました。ウォリスの公式と呼ばれるらしいですね。0からπ/2の区間での積分は他のところでも同じようです。
答えは2π×(2n-1)!!/(2n)!!となりました。
よかったです！
2π
∫ cos²ⁿθ dθ
0
の計算ができればいいってことですかね？
極座標変換したらそうだと思います。自分はcosθの2乗を倍角定理で整理したものをn乗して、それを積分しようとしましたがダメでした。
私も下の方と同じような解法を想定していました。二乗は崩さずに計算するとよいです
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ちょっとやってみます。ありがとうございます。