knowは、後ろに「~を」に当たる名詞を必要とする動詞です。この「~を」に当たる名詞を目的語といい、目的語を必要とする動詞を他動詞といいます。
問4ではknowの後ろにifから始まる塊が続いていますが、knowが他動詞であることからこれは名詞の塊としか考えられません。he will come backとSV構造になっているので、この塊は句ではなく節といいますが、ifは「~かどうか」という意味で名詞節を作ることができます。
一方で、副詞というのは文を作る骨格（S、V、O、C）にはならないものであり、無くしても文構造的には成立するもの（意味的には不成立なこともある）です。I will stay home.という文はstayが後ろに名詞を伴わない自動詞なので、第一文型として成立します。（homeは副詞であることに注意。）よって、前のifから始まる節を無くして後ろの文だけにしても、きちんとした第一文型の文となるので、副詞節であると考えられます。名詞節なら単体で主語の前に来たりしません。
未来のことでも現在形で書かないといけないのは、時と条件を表す副詞節の場合です。名詞節の場合は関係ないです。
文型に関しては、私のノートで詳しくまとめているので宜しければ併せてご覧ください。
名詞節: if ～「～かどうか」、when ～「いつ～するか」→will 動詞の原形
副詞節: if ～「もし～なら」、when ～「～するとき」→現在形
のようにひとまず区別してください