Question

波瑠

数2微分の問題です。青いマーカーのところ( 重解または虚数解を持つ)というところはわかるのですが、赤いマーカー(0を解にもつ)の部分がよくわからないので解説お願いします。

重要 例題 218 4 次関数が極大値をもたない条件
①①①①①
関数f(x)=x^-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき, 定数kの値の範囲を求め
よ。
指針 4次関数 f(x) がx=pで極大値をもつ
[福島大] 基本 211 214
...
x
f'(x) +
p
⇔x=pの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる
であるから, f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を
考える。 3次関数f'(x) のグラフとx軸の上下関係をイメー
ジするとよい。 なお、解答の右横の図は y=x(x2-6x+9k) のグラフである。
0
f(x)
極大 \
f'(x)=4x3-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k)
解答 f(x) が極大値をもたないための条件は, f'(x) = 0 の実数
解の前後で f'(x) の符号が正から負に変わらないことであ
る。このことは, f'(x)のx の係数は正であるから, 3次
方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと
同じである。
k≧1
ya
k>]
k=1
3
x
f'(x) =0 とすると
x=0 または x2-6x+9k=0
よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0が
k=0
ya
[1] 重解または虚数解をもつ [2] x=0 を解にもつ
[1] x-6x+9k=0 の判別式をDとすると
D≦0
D=(-3)-9k=9(1-k)であるから
1-k≦0
4
よって
k≧1
[2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると
したがって
k=0, k≧1
k=0
x

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

x²-6x+9k=0が、たとえばx=0とx=3を解にもつとき、
条件を満たします

この場合は[1]では漏れてしまうので、[2]が必要です
x=0,3は[1]のように重解でも虚数解でもないからですね

波瑠

返信遅れてしまい申し訳ございません。図等の解説ありがとうございます。理解できました。