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参考・概略です
x²－2kx＋k＋2＝0
判別式を考えると、
Ｄ/4＝k²－(k＋2)＝(k＋1)(k－2) より
①k＜－1，2＜k のとき、2つの異なる実数解
②k＝－1，2＝k のとき、1つの実数解(重解)
③－1＜k＜2 のとき、実数解なし
①，②の範囲で、解(α、β)の正負を考えると
α＋β＝2k、αβ＝k＋2 を利用し
㋐異符号の解(正と負の解)をもつとき
αβ＝k＋2＜0 を解き、①②と合わせ、k＜－2
㋑同符号の解(正と正または負と負)の解をもつとき
αβ＝k＋2＞0 を解き、①②と合わせ。－2＜k＜－1、2＜k
更に、
ⅰ正と正の解を持つとき
α＋β＝2k＞0を解き、㋑と合わせ、k＞2
ⅱ負と負の解を持つとき」
α＋β＝2k＜0を解き、㋑と合わせ、－2＜k＜－1
また、
解が0となる時を考えると
k＋2＝0 から、k＝－2
重解を考えると
k＝－1のときx＝－1，k＝2のときx＝2
以上から
k＜－2のとき ････････ 正と負の実数解
k＝－2のとき ････････ 負とx＝0の実数解
－2＜k＜－1のとき ･･･ 負と負の実数解
k＝－1のとき ････････ 負の重解x＝－1
－1＜k＜2のとき ･････ 実数解なし
k＝2のとき ･･････････ 正の実数解x＝2
k＞2のとき ･･････････ 正と正の実数解
以上、①，㋑、ⅰを考え
★異なる２つの正の解をもつのは、k＞2のときで
解答形式に合わせると、2＜k
ありがとうございます