Question

りんご

4番を添削して頂きたいです、よろしくお願いしますm(_ _)mまた、解答の赤い線で引いてるところがどういうことを言っているのかが分からないです、教えてください🙏

4
Ok 09)
RO
W
実数の定数 a b に対して, 関数 f(x) を
ax+b
f(x) =
x2+x+1
※定める。すべての実数』で不等式
JAG JA
冷 f(x) ≦ f(x)'-2f(x)2+2
が成り立つような点 (a,b) の範囲を図示せよ.
を中心とす

したがって, 0= b でSは
ds
とき
de
-1+√33
cOS ∠B = cos 260=
S
(解説)
8
+ 0
(л13)
1. 三角形の計量 (面積) についての最大・最小問題である. 前半は角を主役にして面
積を表し, 後半はその増減を調べる. 前半については2010年度乙4 と同様であるが、
後半はすこし工夫しないと面倒になる可能性がある. とはいえ2013年度の4に続い
て微分の標準的問題である.
2. まず △ABCについては1辺と2つの角の関係が与えられているので,∠A=
を主役にして正弦定理を利用することになる. 面積は
S =
2
・CAAB sin∠A, S = -ABBC sin ∠B
2
で求めても∠A=0で表すかぎり同じである.
後半はSの増減を調べるために微分するが, S = sin 30 cosのまま微分すると
との三角関数がでてきて,この場合3倍角の公式で0にそろえることになり、でき
なくはないがやや面倒になる.そのためここで失敗してしまった受験生もいたようだ
が,「cos /B (= cos 26) を求めよ」と問題文にあることに注意すれば,角0 ではなく
角 20 で表せばよいと判断できる.するとSを20で表すには積→和の公式
sinar cos β = 1/12 {sin(a + B) + sin(α -β)}
を利用すればよいことに気がつくだろう.
.830:
「すべての実数xで F1F2F3≧0」
であるための条件が求めるものである.
ここで
「3つの方程
1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 はどの2つも共通解をもたない」
.... (*)
「f(x) = -1 かつ f(x) =1」 となり矛盾するからで、他の場合も同様である.
実際、例えばF1 = F2 = 0 がある x について成り立てば、そのxの値について
いま, F1=0が異なる 2 実解α, βをもつと仮定すると, F1 はαの前後で符号を
変えるが,F2 = 0, F3 = 0 は αを解にもたないことから, F2, F3は αの近くで符号
を変えることはない.したがって, F1F2F3 x = αで符号を変えて, (*) に反する.
F2, F3 についても同様だから, 2次方程式 F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 はいずれも異な
る2 実解をもたない これらのx2の符号が正だから,
「すべての実数xで Fi≧02≧0F3≧0」
となり,このとき(*)は成り立つので,これが(*) であるための必要十分条件である。
ここで
F2≧0⇔ f(x) ≦1
F3≧0⇔ f(x) ≦2
だから,F2 ≧0⇒F3≧0が成り立つので、結局
「すべての実数xで F1 ≧ 0 かつ F2 ≧0」
であるための条件が求めるものである.それは,F1 = 0, F2=0 の判別式をそれぞ
れ D1, D2 とおくと,
D1 ≦ 0 かつ D2 ≦0
D1 = (a + 1)2-4(b+ 1) = (a+1)^-4-4b
D2 = (-a + 1)2 - 4(−6 + 1) = (a-1)2-4 +46
にも
であるが,
TOE
aja 200
nix AD =
4
{f(x)3 - 2f(x)2 + 2} -f(x)=f(x)3-2f(x)2-f(x) +2
={f(x) +1}{f(x)-1}{f(x) -2}
だから
だから, f(x) ≦ f(x)3 -2f(x)2 + 2 は
{f(x) + 1}{f(x) - 1}{f(x)-2} ≧ 0
となり,これに f(x)
=
ると
ax+b
x 2 + x + 1
:.{f(x) + 1}{1 - f(x)}{2-f(x)} ≧0
-を代入して, 両辺に(x2+x+1) (0) をかけ
{ x2 + ( a + 1)x + b +1}{x2+(-a +1)x-b+1}{2x2+(-a+2)x6 +20
①の左辺の3つのxの2次式を順にF1, F2, F3 と表すと
......... ①
1
× (a + 1)² - 1 ≤ b ≤ — — — (a −1)²+1
4
4
となり、求める範囲は右図の斜線部 (境界を含む). -√3 -1/
解説
3)\ 19 (1x)\
1. y = f(x) とおくと, f(x) についての不等式は
yuy3-2y2+2 . (y + 1)(y -1)(x-2)0
175
1
1

14
f(x)=f(x)-f(x)^2+2と変形すると、
(f(x)-1)(f(x)-2)(+(2)+1)20-0
であることよりが成立するのは、
f(x)-2=f(x)-1=f(x)+1
f(x)-20
または、-1=f(x)=11時である。
""
- 1 = 4 (2) 51
-1 %
ax+b
= 1
++1
それぞれにナナ(=(x+2/20)をかけると、
-(x²+x+1)=ax+b=x²+x+1
(a) x2+x+1
2ax+b
x+x(1-a)+1-b=0
(x + 1-a)² - (-a)² + 1-420.
すべてのでこれが成り立つには
- ((-a)² + 1 - 20
+(a-1) +1
(x+x+1)
(b)
ax+b=
ax+b+x²+x+1
atl
ZO
(x + a+1 )³- (a+1)² + h +1 20
すべての水でこれが成り立つには、
a
+a+120
b = = (a+1)² -|
F
f(x) 220
linf(x)=lin
ax + b
x+x+1
A
0よりすべてので、f(x)-220が成立する
aとbは存在しない
以上から
R
Tah☑
f(x)=f(2)-2(x)2
+2
すべてのxで成立するよう
すると、
次のページへ進む
境界線を含む
x²+x+1+ax+b20.
f(x)=x²+x+
+x+1+ax+b
f'(x)=2x+1+a
2x+lta-o.
fx=-a-l
2.
B

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

ものぐさ

多分ダメ。十分条件でしか論じてない。
全てのxでのときにAが成り立つかBが成り立ちます。
ってのを
勝手に
全てのxでAが成り立つとき
または
全てのxでBが成り立つとき
に勝手に強く条件を変えてる。

例え話にすると
クラス全員が東大か京大に進学しました。
ってのを
クラス全員が東大に進学した場合か
クラス全員が京大に進学した場合か
勝手に読みかえています。

りんご

なるほど、理解しました！回答ありがとうございました！また、返信が遅くなってしまい申し訳ないですm(_ _)m

Answer 2

GDO

■添削
特に減点されるような部分は無いと思います。
（添付されていた模範解答よりも分かりやすいと思う）

■解答の赤い線で引いてるところを以下に読み替えてみました
①F₁、F₂、F₃は２次関数
②F₁=0、F₂=0、F₃=0の解が存在するならば、それぞれの解は異なる
③F₁=0が2つの異なる解x=α、βをもつ場合、x=αの前後(α-δ、α+δ)を考えたとき、
　F₂(α)≠0でありF₂(α-δ)、F₂(α+δ)の符号は同じ、F₃もαの前後で符号は同じ
　（βの前後も同様。F₂=0、F₃=0が２つの異なる解をもつ場合も同様）
　
　⇒F₁=0の前後で符号が変わった場合、F₂、F₃の符号は変わらないので、F₁・F₂・F₃はαの前後で符号が変わってしまい、F₁・F₂・F₃≧0を満たすことができない
　（F₁、F₂、F₃は２つの異なる解をもってはいけない）

以上から、F₁、F₂、F₃の符号が同時に入れ替わることはない（それぞれ２つの異なる解をもってはいけない）から、F₁・F₂・F₃≧0となるには、F₁≧0、F₂≧0、F₃≧0でなければならない。

りんご

納得しました！解答では少しよくわかんなかったのですが、丁寧に教えてくださって、理解出来ました！ありがとうございました！また、返信が遅くなってしまい申し訳ないですm(_ _)m

GDO

「f(x)は連続関数だから-1≦f(x)≦1、f(x)≧2の両方の値域を含むようなf(x)は存在しない（aも存在しない）から、それぞれの条件を満たすaを求める」
ということを記載しておくと良いと思います。
（分母>0なのでf(x)は全てのxで連続）

りんご

ご丁寧にありがとうございます！まだ少し分からないところがあるのですが、書いてくださった
-1≦f(x)≦1、f(x)≧2の両方の値域を含むようなf(x)は存在しない
というのはなぜ言えるのですか？

GDO

単に関数が存在しないのではなく、「連続関数は存在しない」ということです。

f(x)は、すべての実数xにおいて連続関数であるから、とびとびの値はとりません。
-1≦f(x)≦1、f(x)≧2は、1〜2は間が空くので、両方を含む関数f(x)は不連続な関数になります。グラフで考えるとわかると思います。
（ものぐささんの回答に関する追加の記載になります）

GDO

「この問題のf(x)は、すべての実数xにおいて連続関数であるから、とびとびの値はとりません。」です。
↑
「この問題の」を追記しました

りんご

なるほど！納得しました！解決済みにしたのにも関わらず、追加で教えてくださってありがとうございます！