Question

estj

固有空間の定義について質問です。
W_λ={x∈C^n | Ax=λx}
W_λ=Ker(A-λE)
調べると2つの書き方があったのですが、どちらも同じことなのでしょうか。
Ax=λx
(A-λE)x=O
が関係してるのでしょうか。

Answer 1

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希

どちらも同じです。行列Aに対して、そのKerというものは
Ker(A) = {𝕩 ∈ ℂ^n : A𝕩 = O} (Aを線型写像と見ての核)
として定義されます。
A𝕩=λ𝕩 ⇔ A𝕩-λE𝕩=O ⇔ (A-λE)𝕩=O
であるので、両者が等しいことが分かります。

余談ですが、ジョルダン標準形を考える際は広義固有空間というものを考えます。そのときは2つ目のW_λの式を利用して拡張します。

estj

回答ありがとうございます。理解できました。ジョルダン標準形については現在学習中なので詳しく追ってみます。