Question

かなかな

なぜ0<x<π/2などとしてわけてるのでしょうか。

PRACTICE 75°
平均値の定理を用いて、次の極限を求めよ。
(1) limx(log(2x+1)-log2x)
(2) lim
-
----

(2)x→0 であるから, 一覧<x<と
としてよい。
f(x)=e* とすると, f(x) はすべての実数xで微分可能であ
り
f'(x) =ex
[1] x+0 のとき, 0<x<1としてよい。
x+0,
このとき
0<sinx<r
区間 [sinx, x] において,平均値の定理を用いると
sinx
上の図から0<x<
のとき <sinx<x
e-esi
sinx
=e, sinx<c<x
x-sinx
を満たす実数c が存在する。
limc=0
x+0
はさみうちの原理
lim sinx=0. lim x=0 であるから
x→+0
x→+0
esinx-ex
よって
lim
= =lim
x-+0 sinx-x
ex-esinx
x-+0 x-sinx
= limef=e=1
x+0

[2]x0 のとき、一<x<0としてよい。
第4章 微分法の応用
115
このとき
xsinx < 0
区間[x.sinx] において,平均値の定理を用いると
←[1]と同様に考える
e. <c<sinx
を満たす実数が存在する。
limx=0, lim sinx=0 であるから
lim c=0
はさみうちの原理
six-e
よって
lim
sinxx
limef=e=1
sinx
[1][2]から lim-
x-ex
=1
sinx-r
左側極限と右側極
平均値の定理から
[in 次のように, 絶対値をとって考えてもよい。
| r²=sinx|=le°l=e°,
一致。
<->0
cはxとsinxの間の実数
を満たすc が存在する。
limx=0, limsinx = 0 であるから lime=e=1
=1
e-es
sinx
したがって
x-01 x-sinx
x0 のとき, 0<sinx<x から
x < 0 のとき, x<sinx<0 から
a-sinh
よって,いずれの場合も
e-esinx
e-esin
=1
sinx
esinx <ex
ex<esinx
->0 であるから
sin.x
e
-e
sinx
e-
ゆえに
lim sinx-x
=lim
-=1
xx-sinx
ya
y=

Answer 1

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和

平均値の定理を使うにあたって、
cの値がどの範囲に存在するかを書くとき、
sinxとxのどちらが大きいかは
x>0かx<0かによります
そこで場合分けします

かなかな

では、なぜπ/2に設定しているのですか？

和

π/2以降でもsinx<xなので、
特に限定しなくてもいいです

ただ、x>0でつねにsinx<xを
既知としてよいかが微妙です

傍注の図からsinx<xといえるのは
0〜π/2の場合なので、
π/2としているようです

かなかな

ありがとうございます。