Question

り

このような場合でも極値を持つじゃないですか、
なぜ極値をもつ条件がf'(x)の符号が変わる、異なるふたつの実数解をもつ、判別式D>0になるのでしょうか

288
基本 例題 183 極値をもつ条件・ もたない条件
(1) 関数f(x)=x+ax²+(3a-6)x+5 が極値をもつような定数αのの
範囲を求めよ。ラ
(類名古屋大)
(2) 関数f(x)=2x+kx2+kx+1 極値をもたないような定数kの値の
囲を求めよ。
CHART & SOLUTION
[類 千葉工大 ]
(1) 3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(α)=0を満たす x = α が存在し,
x=αの前後で f(x) の符号が変わる
f'(x) =0 が 異なる2つの実数解をもつ
f'(x)=0 の判別式 D>0
(2) 3次関数 f(x) が 極値をもたない⇔ f(x) が常に増加 [または減少]
⇔f'(x)の符号が変化しない
基本 12
⇔f'(x)=0が重解をもつか実数解をもたない
⇔f'(x)=0 の判別式 D≦0
①......
3次
基本
もた
詳し
3次
3
(i)
(ii)
解答
0
(1) f'(x)=3x2+2ax+3a-6
f(x) が極値をもつための必要十分条件は, f'(x) の符号が
変化することである。
(1)
D>0
y=f(x)
よって, f'(x)=0 すなわち 3x2 +2ax+3a-6=0
①
+
+
が異なる2つの実数解をもつ。
e
I
①の判別式をDとすると
argo
D=α-3(3a-6)=α-9a+18
4
D>0 から
(a-3)(a-6)>0
これを解いて a <3,6<a
(2) f'(x)=6x2+2kx+k
(2)
37
y=f'(x) /
D=0|
3
+
+
X
(i)
y=f(x) /
(ii)
f(x) が極値をもたないための必要十分条件は, f'(x) の符
号が変化しないことである。
{=8+1-8-1=(1)
よって, f'(x)=0 すなわち 6x2+2kx+k = 0
重解をもつか実数解をもたない。
②が
D<0
② の判別式をDとすると
D=k2-6k
D≦0 から
k(k-6)≤0
これを解いて
+
PRACTICE 183®
D<0 は誤り。
(1) 関数f(x)=x-3mx²+6mx が極値をもつような定数の値の範囲を求めよ。
(2) 関数f(x)=x+(k-9)x2+(k+9)x+1 (kは定数) が極値をもたないような
の値の範囲を求めよ。
((1) 85
(2)
千葉工大]
D:

Answer 1

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フラッグ

三次関数が右図のような場合、
f'(x)の符号は変わります。従って
f'(x)=0は異なる2実解をもちます。
質問はありますか？

り

右図の場合、傾きf'(x)が+になるとき、-になるときがあり、f'(x)のグラフで表すとx軸で交わるから判別式D>0になるってことですか？

フラッグ

大体は合っています。もう少し正確にいうと、
y=f'(x)のグラフがx軸と「異なる2点で」交わるから
方程式f'(x)=0の判別式DはD>0となる
というわけですね。