Question

さかさかばんばん

四角で囲ってあるところはどうしてこのような形にしたんですか？

n 1
an=
k=12k-1
(n=1, 2, ………) とする。
(1) 不等式 2n+11dx<24ヵが成り立つことを示せ。
an
(2) 極限 lim
n→∞ logn
を求めよ。

36 定積分と不等式
考え方 —
区間 [a. b]f(x) 2g(x) ならば
g(x)dx
+1から.
2
12k+1
2
-dx<
2k+1
2k-1 X
2k-1
が得られる。この不等式の各辺について.
k=1, 2,..., nまで足し合わせると
2
2n+1 1
dx<Σ
2
2k+1
1
x
k=1
k=12k-1
と表せる。
1
11
a =
であるから
2
2k-1
k=1
k=1 2k-1
=2an
12
2
k=1
(2) 2+1
も を用いて表し、
an
an
logn
をはさむ不等式
を作り、はさみうちの原理を利用する。
Y
2-170
よって
2k-1
(1)自然数に対して,「2k-1≦x≦2k+1のとき
1
2k+1
1
2k-1
また,等号は常には成り立たない。
・2k+1 1
Sk
2k+1
2k+1
2k+1
1
-dx<
-dx
2k-1 x
2
すなわち
2k+1
<
2k+11
2
-dx<
2k-1
各辺k = 1, 2,
2
nについて足し合わせると
2+11
1
2
dx<Σ
2k+1
1
2k-1
k=1
k=1
2
2
Σ
2
ゆえに、右側の不等式から 11/2dx<20
(2) 2k+1=2k-1
k=1
-224-1
k=1
=2an
dx x]2+1 = log(2n+1)
-dx=[10gx
2n+11
ここで
x
よって, (1) から
4n
20
2n+1
各辺を 210gで割ると
<log(2n+1) <2a
Sn+
2
-2+
2+1
4n
2n+1
4n
2+1
an
2n
log n
(2n+1)logn
log(2n+1)
2log
an
<
log n
ゆえに
log(2n+1)
an
log(2n+1)
2n
<
2log
log n
2logn
+ (2n+1)logn
logn+log (2+
ここで
log(2+1)
n
lim
= lim -
00+16
2log n
2log "
→00
=lim
→00
1-2
10g (2+12)
1
+
2log
2
2
2n
-=0
lim
=lim
→00
(2+1)logn
→00
2+
logn
n
an
したがって、はさみうちの原理により
lim
→00
log n
12

定積分

Answer 1

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🍇こつぶ🐡

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さかさかばんばん

なぜ四角で囲ってるものがa_n/lognより大きいとわかるんですか？
また、自力でこの形にしたらいいと考えるの難しくないですか？パターンとして覚えた方がいいですかね？

🍇こつぶ🐡

なぜ四角で囲ってるものがa_n/lognより大きいとわかるんですか？
＞一番上の式から。
a_n/logn➖□＜log(2n+1/2logn)より、
a_n/logn＜log(2n+1/2logn)➕□だから。

自力でこの形にしたらいいと考えるの難しくないですか？パターンとして覚えた方がいいですかね？
＞確かに難しいです。
まあ、パターンというか、はさみうちを使うため、定数の極限値を考えるのに、うまく変形して赤い囲みの式の極限を考えるしかないかと。

さかさかばんばん

ご丁寧にありがとうございます。よくわかりました。