Question

Mikuro

二次関数の不等式の問題です。
別解がある問題と無い問題は、何が違うのでしょうか？
この後にある練習問題を別解で解いた際答えが違い、解説を見ても別解が載っていなかったので……
単純にどこかで計算を間違えた可能性もありますが🤙

また、正規の解き方がイマイチよくわからないので
(１)だけでいいので何をしているか流れを教えてろしいです。

よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

212
思考プロセス
例題 119 絶対値記号を含む不等式とグラフ
次の不等式を解け。
(1)
x2x-3| ≦ x+1
(3) x-1|+|x|+|x+1|<-x+3
絶対値を含む
不等式
(2)||x-1|-3|<2
場合に分ける 場合分けして絶対値記号を外す [別解]
←
★★★☆
絶対値記号が多いと,計算が繁
図で考える2つのグラフの位置関係を考える。 [本解]
不等式 f(x) >g(x)の解y=f(x) のグラフが y=g(x) のグラフ)
(よりも上側にあるようなxの範囲
Action» 絶対値記号を含む複雑な不等式は,グラフの位置関係から考えよ
圓 (1) y=x^2-2x-3… ① とすると
y=(x-1)2-4
4
117
①のグラフとx軸の共有点のx
座標は,x2-2x-3=0より
3
(x+1)(x-3)=00121
10
1
3
よって
x=-1,3
ゆえに,y=|x2-2x-3| のグラ
7は右の図。
ここで, y=x2-2x-3のグラフ
と直線 y=x+1の共有点のx座標は
x2-3x-4=0
y=x2x-3は、
の式全体に絶対値記号が
付いているから,折り返
す方法でグラフをかく。
①のグラフのx軸より下
側にある部分を折り返す。
y=x2x-3と
y=x+1のグラフの共
有点を考える。
x²-2x-3=x+1 より
(x+1)(x-4)=0
よって x=-1,4
また,y=-x2+2x+3 のグラフと直線 y=x+1の
共有点のx座標は
-x'+2x+3=x+1 より x2-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
よって x=-1,2
求める不等式の解は,
y=|x²-2x-3| のグラフが,
直線 y=x+1 より下側にある
(共有点を含む)xの範囲である
から
x=-1,2≦x≦4
VA
y=x+1
0
234x
不等式に等号が含まれて
いるから, x=-1 を含
むことに注意する。

(別解)
(ア)x2x-3≧0 すなわち x - 1,3≦x のとき
不等式は
x²-2x-3≦ x+1
-3x-40 より
よって
-1≤ x ≤4
(x+1)(x-4) ≦ 0
xxx であるから x = -1,3≦x≦ 4
(イ)x2x-3 < 0 すなわち-1 <x<3のとき
不等式は
xx-2≧0より
よって
(x²-2x-3) ≦ x+1
(x+1)(x-2)≧0
1 <x<3 であるから
2≦x<3
x≦-1,2≦x
-1
34
x
-1
23
3
3章
2次関数と2次不等式
(ア)(イ)より求める不等式の解は
x=-1,2≦x≦4
(2)y=x-1,y=|x-1|-3, y=||x-1|-3| のグ
ラフは、それぞれ図1、図2, 図3の折れ線となる。
図1
図2
YA
図3
VA
3F
2
10
4
x
-201
x
y=||x-1|-3| のグラフと直
x = -4,0,2,6
-1
A
x
:
234
y=x-1のグラフ
x軸より下側にある部
分を折り返す。
|y=|x-1| のグラフ(図1)
y軸方向に-3だけ
平行移動
|y=|x-1|-3のグラフ (図2)
x軸より下側にある
部分を折り返す。
|y=||x-1|-3| のグラフ (図3)
折れ線 y=||x-1|-3|
は傾きが-1または1で
ある。
線y=2の共有点のx座標は
3
求める不等式の解は,
-4-2 01 246 x
y=||x-1|-3| のグラフが直
線y = 2より下側にあるxの
範囲であるから
-4 <x< 0,2<x<6
(別解)
||x-1|-3| < 2 より
-3を両辺に移項
(-2<|x-1|-3<2
31
例題 1<|x-1|<5 であるから
flx-1|>1
・①
lx-1| <5
..②
① より x-1 < -1, 1<x-1
X-1>xx
よって
x < 0,2<x
③
同じ考え方
② より
-5<x-1<5
よって
-4<x<6
A
21
2
-2-20-242
x
\X\<a-a<X<a
A<B<C←
JA<B
\B<C
③④より, 求める不等式の
解は
-4 <x< 0,2<x<6
(4)
(4)
(3)
-4
02
6
x
213

(3)y=|x-1|+|x|+|x+1| … ① のグラフについて
(ア) x <-1 のとき
y=(x-1)-x-(x+1)=-3x
(イ) -1≦x< 0 のとき
y=(x-1)-x+(x+1)=-x+2
(ウ) 0≦x<1のとき
y = -(x-1)+x+(x+1)= x +2
(エ) x≧1 のとき
y=(x-1)+x+(x+1) = 3x
(ア)~(エ)より、 ①のグラフと
y=-x+3のグラフは右の図の
ようになり, -1 <x< 0,
0<x<1の範囲でそれぞれ共有
点を1つずつもつ。
0<x<1における共有点のx座
標は
x+2=-x+3
x2+x-1=0 より x=
0<x<1 であるから x=
-1±√5
2
-1+√5
YA
20
同様に, -1 <x< 0 における共有点のx座標は
1-√5
x=
2
求める不等式の解は、①のグラフ
がy=-x+3のグラフより下
側にあるxの範囲であるから
y
\2
x
長特
0<x<1における共有点
y = x +2 と
y=-x+3のグラフの
共有点である。
-1 <x<0°における共
有点は y=-x+2 と
y=-x+3のグラフの
共有点である。
また、2つのグラフはと
もに軸に関して対称で
あることから
1-√5
-1+√51-5
<x<
-1+√√5
x=-
2
-140 +1
x
2
2
2
1-√5-1+√5
としてもよい。
2
12

Answer 1

和

「思考のプロセス」にあるように、
本解はグラフを使って視覚的に解いています
別解は場合分けして絶対値をなくし、
不等式を解いています

(1)(2)はグラフが比較的簡単に描けるので、
本解では場合分けしていません

(3)はグラフを描くには複雑なので、
場合分けしています
その点が(1)(2)とは違いますね

(1)の本解はグラフの利用です
y=|x²-2x-3|がy=x+1以下に
来ているようなxの範囲を見た目で判断して、
すぐに答えを出しています