Question

もみじ

第2問(3)のCnの式の求め方を教えてほしいです。

テーマ・出題内容を記入してください
第1問 f(x)=xtax+b: (a,bは定数A:容器内の食塩水に、濃度2%の別の食塩水を
(1) Sxf(t) dtaxの多項式で表せ。
(2) Sxcf(t)dt をxの多項式で表せ。
(3) すべての実数について、等式
Sixf(t) dt-Safe)dt+1
300(g)加えてかき混ぜる。
このとき、al, azの値、annの式で表せ。
(2)操作(B)左n回(略)、食塩の量ln(g)とする
B:容器から食塩水を300(g)排出した後、容器内に
残った食塩水に水を300()加えてかき混ぜる。
が成り立つとき、定数a,b を求めよ。 このとき、bai,b2の値、bunの式で表せ。
第2問 容器に濃度7%の食塩水が900(4)(5)操作(上)を4回(略)、食塩の量 Cr()とする
C: 容器から食塩水を300(g)排出した後、容器内に、
残った食塩水に濃度2%の別の食塩水を
300(加えてかき混ぜる
入っている。
(1)操作(A)を九回(n=1,2,3)繰り返したとき
容器に含まれる食塩の量an(g)とする
このとき、C,C2の値、Cnをれの式で表せ。

数列 濃度

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

mo1

参考・概略です

●食塩水900g中食塩水300gを排出する
　つまり、(1/3)を排出し、(2/3)を残すという事なので
　濃度が一定(食塩が一様に溶けている)であることから
　食塩も、(1/3)を排出し、(2/3)を残すことになります

元の食塩水の食塩：900g×0.07＝63g
加える食塩水の食塩：300g×0.02＝g

１回目排出：63g×(1/3)＝21g排出、残り63g×(2/3)＝42g残り
１回目追加：残り42g＋追加6g＝48g
かき混ぜる：Ｃ₁＝48

２回目排出：48g×(1/3)＝16g排出。残り48g×(2/3)＝32g残り
２回目追加：残り32g＋追加6g＝38g
かき混ぜる：Ｃ₂＝38

３回目排出：38g×(1/3)＝38/3g排出。残り38g×(2/3)＝76/3g残り
２回目追加：残り76/3g＋追加6g＝g
かき混ぜる：Ｃ₃＝94/3

・・・・・
のように、前の食塩の(2/3)に6を加えていきます

整理して前の値を用いた式で表すと
Ｃ₁＝48
Ｃ₂＝(2/3)Ｃ₁＋6
Ｃ₃＝(2/3)Ｃ₂＋6
・・・

以下の漸化式で表されることがわかります
　Ｃ₁＝48
　Ｃ(n＋1)＝(2/3)Ｃn＋6

数列の応用として求めると
　Ｃ₁－18＝30
　Ｃ_(n＋1)－18＝(2/3){Ｃ_n－18}
　　【Ｃ_n－18が、初項30，公比(2/3)の等比数列】で
　Ｃ_n－18＝30・(2/3)^(n－1)
　　　Ｃ_n＝30・(2/3)^(n－1)＋18
　　　Ｃ_n＝3[10・(2/3)^(n－1)＋6]

簡易確認
　n＝1：Ｃ_1＝3[10・(2/3)^(1－1)＋6]＝3[10＋6]＝48
　n＝2：Ｃ_2＝3[10・(2/3)^(2－1)＋6]＝3[20/3＋6]＝38
　n＝3：Ｃ_3＝3[10・(2/3)^(3－1)＋6]＝3[40/9＋6]＝94/3

もみじ

丁寧に説明していただき、ありがとうございます！
とても分かりやすかったです。