Question

いちご

なぜ△ABCの中線AMとの交点をG’と置くのですか？

0000
した垂線を
が円の直径
基本事項
定理や性
●Cの垂直二等
基本
例題
78 重心・外心・垂心の関係
00000
正三角形ではない鋭角三角形ABC の重心 G, 外心 0, 垂心Hは一直線上に
あって、
重心は外心と心を結ぶ線分を, 外心の方から12に内分することを
証明せよ。なお、基本例題 77 の結果を利用してもよい。
指針
解答
証明することは,次の [1], [2] である。
[1] 3点G, O, Hが一直線上にある。
p.452, 453 基本事項■
HOA
これを示すには, 直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OHと中
AMの交点をG′として, G′ と Gが一致することを示す。
[2] 重心G が線分 OH を 1:2に内分する,つまりOG: GH=1:2をいう。
AH// OMに注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。
右の図において,直線OHと
△ABCの中線 AM との交点をG
とする。
AH⊥BC, OM⊥BCより,
AH// OM であるから
(G)
CH垂心, 外心の性質から。
459
3章
1 三角形の辺の比、五心
理
平行と半分
AG' : G′'M=AH: OM
B
M
=2OM: OM
二基本例題77の結果から。
DACは半円
る円周角。
=2:1
の垂心。
よって,外心0, 垂心H, 重心Gは一直線上にあり
HG: OG=AG:GM=2:1
AMは中線であるから, G′ は △ABCの重心G と一致
する。
すなわち
OG:GH=1:2
検討
外心, 重心,垂心が通る直線
(この例題の直線 OH) を
オイラー線という。 ただし,
角形ではオイラー線は定
できない。 下の検討③を
参照。
それぞれ平
#RAJ
三角形の外心、内心、重心, 垂心の間の関係
例えば、次のような関係がある。
ない。
0
利用。
①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 78)。[]
②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習76)
③ 正三角形の外心, 内心、重心, 垂心は一致する (練習 77 ) 。
したがって、正三角形ではオイラー線は定義できない。
③

Answer 1

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ブドウくん

この時点では単に中線とOHの交点でしかないからです。その交点G'が2:1に内分することがわかってはじめて、重心Gだと示せます。
こういう意図の質問ですよね？

いちご

ありがとうございます！