Question

まゆげ

（1）でなぜ背理法を使うんですか？また、どういう時に背理法を使うと判断すればいいんですか？？お願いします😿

0でない多項式f(x)が,xについての恒等式
を満たすとする.
f(x)=xf(x+1)-x-x2
(1) f(x) の次数は2以下であることを示せ.
(2) f(x) を求めよ.

f(x2)=x^f(x+1)-x-x2
とする.
(1) 背理法を用いて示す.
f(x) の次数をn とし, n≧3であるとする.
このとき, (*)の左辺について,
f(x2) の次数は2n
①
また、
f(x+1) の次数はn
であるから,
xf (x+1)の次数はn+2
であり,n≧3のときn+25より, (*)の右辺につ
いて、
x2f (x+1)-xxの次数はn+2
・・・
(2)
(*)はxについての恒等式であるから, 左辺, 右辺の
次数は等しいので,①,②より,
2n=n+2 すなわち n=2
これはn≧3であることに反する.
したがって, f(x) の次数nは2以下である.

Answer 1

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和

この問題は「必然的に背理法を使う」
感じではないように思います
普通にやることが多いです
もちろん、使ってもよいのですが…

大雑把には、普通にやると大変そうなら
背理法を考えてみる、という感じです

また、よく言われるのは「〜でない」ことの証明は
背理法が向く、ということです
「√2が無理数である（=有理数でない）ことの証明」
とかです