Question

かなかな

（1）の変形の青線から青線までのところなのですが、これって作りたい目標の形から条件を変形して行くということですよね。
正直僕は今こんなに上手く条件を使って変形できないのですが、どう考えればこのように変形できますかね。

下
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要 例題 22 漸化式と極限 (はさみうち
00000
0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3,.....) によって定められる数列
{a}について,次の(1),(2),(3) を示せ。
[類 神戸大 ]
J
(
(1) 0<an<3
(2)3-an+1<-
+1<1/12 (3-am)
(3) liman=3
81U
p.33 基本事項 3 基本15
CHART & THINKING
求めにくい極限 はさみうちの原理を利用
漸化式を変形して, 一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小問ごとに,どのような方針を
とればよいのか考えてみよう。
(1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 そのために、 何
を仮定すればよいだろうか?
(2) (1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。
(3)(1),(2)で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列{3-4㎡} の極限を
求めればよい。
liman= limb = α ならば lim Cm =α
7210
1218
71100
この不等式の
明のときは
はさみうちの原理 すべての自然数nについて ≧≦b のとき
学的帰
法が
t
(2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。
解答
(1) 0<an<3 •••••• ・① とする。
[1] n=1 のとき, 条件から 0<α <3 が成り立つ。
[2] n=k のとき, ①が成り立つと仮定すると
0<ak<3
n=k+1 のとき
3-ak+1=3-(1+√1+ax)=2-√1+ak
ここで, 0<ak<3 の仮定から 1 <1+ak<4
ゆえに 1<√1+αk <2
よって, 2-√1+α 0 であるから
ささ
3-ak+10 すなわち ak+1 <3
1
数学的帰納法で示す。
+1 のときも
0 < ak+1 <3 すなわち
k+1 かつ ak+1 <3
が成り立つことを示す。
また、漸化式の形から明らかに 0<ak+1
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ゆえに, 0<ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は
成り立つ。
(2) 3-αn+1=3-(1+√1+an)=2-√1+an
[1], [2] から, すべての自然数nに対して ①が成り立つ。
(2-√1+αn)(2+√1+an)_4-(1+αn)
漸化式から。
◆分子を有理化。
2+√1+an
2+√1+an
1
-(3-an)
②
← 3-α+1 と同形の3
2+√1+an
が現れる。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

最初の青線は、a[k+1]<3を示すという目的から
3-a[k+1]>0を示す方針は立ちますね
こうすれば、3-a[k+1]を式変形して
正とわかる形にもっていく、
という明確な流れができます
で、2-√(1+ak)>0を示すのが目的になります

そのためには√(1+ak)が2より小さければよい
　※2 - (2より小)は正だからです
そのためには1+akが4より小さければよい
akが3より小さければよいのだから、
仮定(0<)ak<3に行き当たります
　※n=kの仮定は使わないことはありません
これを逆順に書いていけばよいです

0<ak<3
0<1+ak<4
√(1+ak)<2
-√(1+ak)>-2
2-√(1+ak)>0

かなかな

ありがとうございます！
再現できそうな気がします！