Question

りんご

(2)の1行目の不等式はどのようにしたら思いつきますか？教えてくださいm(_ _)m

解 272.
(4)正の実数αと正の整数nに対して次の等式が成り立つことを示せ。 ただし, eは自
然対数の底とする。
6/
-exdx
a²
e°=1+a+
・+・
+
2!
n! Jo n!
a² + S² (a = x)" e²
(2)正の実数αと正の整数nに対して次の不等式を示せ。
an+1
(a (a-x)"
(n+1)! 20
-ex dx ≤
n!
ean+1
(n+1)!
(3)不等式
le-(1+1+/2/1
+
+
2!
7/10
<10-3
を満たす最小の正の整数nを求めよ。 必要ならば 2 <e <3 であることは証明なし
に用いてもよい。
[21 東北大 理系]

1 272 <自然対数の底eの近似>
(1) 数学的帰納法と部分積分法を用いる。
So (a = x) * ex dx = So { _ (a-x)*+1)
k!
(k+1)!
ex dx と考える。
(1) n=1, 2, 3,
に対して
fn(a)=1+a+
a²
.+......+
2!
a” +Sºª¯x)" e* dx ¿¢¾.
Jo n!
fn(a) = e....... ① を数学的帰納法を用いて示す。
[1] n=1のとき
fı(a)=1+a+Sº (a−x)e* dx=1+a+S" (a−x)(e*)' dx
◆部分積分法
- a+ [ex]²
= e²
ea
=1+a+[(a−x)e*]® +S%e* dx=1+a−a¬
よって, n=1のとき ① は成り立つ。
[2] n=k のとき,①が成り立つと仮定する。
ここで
)+1
S" (a-x)* e* dx = {(a-x)" e* dx
k!
(k+1)!
= [-((k+1)!
(a-x)k+1
a"
k+1
0x]² + Sa² ( a − x) 4+1
Jo
+
+ Sa (a-x) 4+1
(k+1)! Jo (k+1)!
(k+1)! ex dx
ex
dx
◆部分積分法
よって, n=k+1 のときを考えると
fr+1(a)=1+a+2!
a²
ak
・+・ ・+
k!
ak+1
+
+
a²
=1+a+
++
2!
k!
ak
-Sa²-
(k+1)! Jo (k+1)!
+(ª² (a− x) *
+
Jo k!
-e* dx
a (a− x ) k +1
-e* dx
= f(a) = ea
よって, n=k+1 のときも ①が成り立つ。
[1], [2] から すべての正の整数nに対して, ① が成り立つ。
(2) 0≦x≦a のとき
(a-x)"
また,
n!
1≤ex ≤ea
-0であるから
(a-x)" (a-x)"
n!
= (a-x)"
n!
*
よって
ex
(a-x)"
ea
n!
((a-x)" dxf (a-x)" e* dx = (a-x)" e dx
ここで、Salax
n!
Jo
n!
a
(a-x)" - (n+1)! Jo
So (a = x)" dx = [ = (a = x)" +1] =
an+1
-
ea an+1
(n+1)! = √(a¯x)" e* dx = e°q*+
n!
(n+1)!
Jo
n!
an+1
であるから
(n+1)!
←区間 a≦x≦
f(x) ≤ g(x)
f(x)dx=
(3) α=1のとき (1) から
2!
e-(1+1+2++ 1) = ('(1-x)" e* dx
n!
n!

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

大体は、真ん中の定積分の被積分関数の
一部に関する不等式をつくるところから
スタートして変形していくことで
うまくいくようになっています

うまくいかないようなら
他の一部に切り替えます

試行錯誤です

りんご

なるほど！理解しました！回答ありがとうございました！